奥数教程三年级 三年级全册奥数教程

三 年 级 全 册 奥 数 培 训 教 材 适合年级：
小 学 三 年 级 目录 第 一 讲 找规律填数（一） - 5 - 第 二 讲 找规律填数（二） - 7 - 第 三 讲 找规律填数（三） - 10 - 第 四 讲 从数表中找规律 - 12 - 第 五 讲 数线段 - 15 - 第 六 讲 数三角形 - 17 - 第 七 讲 数长方形和正方形 - 20 - 第 八 讲 加法的渐变运算-----凑整 - 23 - 第 九 讲 减法简便运算-----凑整 - 25 - 第 十 讲 加减法的速算与巧算 - 27 - 第 十一 讲 添加运算符号（一） - 29 - 第 十二 讲 添加运算符号（二） - 31 - 第 十三 讲 横式算式谜（一） - 33 - 第 十四 讲 横式算式谜（二） - 35 - 第 十五 讲 竖式加减算式谜 - 37 - 第 十六 讲 竖式乘除算式谜 - 40 - 第 十七 讲 文字算式谜 - 43 - 第 十八 讲 填数阵图（一） - 46 - 第 十九 讲 填数阵图（二） - 49 - 第 二十 讲 不封闭路线上植树 - 52 - 第二十一讲 封闭路线上植树 - 55 - 第二十二讲 与植树相关的问题(一) - 58 - 第二十三讲 数三角形 - 61 - 第二十四讲 等量代换 - 64 - 第二十五讲 用等量代换解应用题 - 66 - 第二十六讲 等差数列 - 69 - 第二十七讲 配对求和 - 72 - 第二十八讲 乘法的简便运算-------凑整 - 74 - 第二十九讲 乘法的速算与巧算 - 76 - 第 三十 讲 除法中的巧算 - 78 - 第三十一讲 乘除法的简便运算 - 81 - 第三十二讲 数的整除 - 84 - 第三十三讲 有余数的除法 - 88 - 第三十四讲 周期问题 - 90 - 第三十五讲 个位数字是几 - 93 - 第三十六讲 时间与日期 - 96 - 第三十七讲 试商技巧 - 99 - 第三十八讲 包含与排除 - 102 - 第三十九讲 盈亏问题 - 105 - 第 四十 讲 鸡兔同笼 - 108 - 第四十一讲 平均数（一） - 111 - 第四十二讲 平均数（二） - 114 - 第四十三讲 和倍问题（一） - 117 - 第四十四讲 和倍问题（二） - 120 - 第四十五讲 差倍问题（一） - 123 - 第四十六讲 差倍问题（二） - 126 - 第四十七讲 和差问题（一） - 129 - 第四十八讲 和差问题（二） - 131 - 第四十九讲 逆推问题 - 134 - 第 五十 讲 行程问题 - 137 - 第五十一讲 归一问题 - 140 - 第五十二讲 巧求周长 - 143 - 第五十三讲 长方形和正方形的周长 - 146 - 第五十四讲 长方形和正方形的面积 - 149 - 第五十五讲 年龄问题（一） - 152 - 第五十六讲 年龄问题（二） - 155 - 第五十七讲 定义新运算 - 157 - 第五十八讲 最大和最小 - 160 - 第一讲 找规律填数（一） 【专题精析】 按一定规律排列起来的一列数叫做数列。数列中从左到右第几个数叫做这个数列的第几项。数列中项的个数可以无限多个，也可以有限多个。如何寻找数列排列和变化规律，并依据这个规律来填写空缺的数呢？ 【例题精讲】 按照数列的变化规律，在括号里面填上适当的数。

（１） ０，３，６，９，１２，（　　），（　　），２１；

（２） ０，３，８，１５，（　　），３５，（　　），（　　）；

（３） １０００，９７０，２００，１８０，４０，３０，（　　），（　　）；

（４）２，５，１１，２３，４７，（　　），（　　）；

方法小结：
【基础练习】 找出各数列的规律，在括号里面填数。

1、（１）５，９，１３，１７，２１，（　　），（　　）；

（２）１，２，４，７，１１，（　　），（　　）；

2、（１）２，６，１８，（　　），１６２，（　　）；

（２） ４，１２，３６，（　　），（　　），９７２；

3、（１）１，２，５，１４，４１，（　　）；

（２）２，３，５，８，１３，（　　），（　　）；

【拓展提高】 找出各数列的规律，在括号里面填数。

1、（１）５，７，１１，１７，２５，（　　） 　（２）２２４，１９４，１６４，１３４，（　　），（　　）；

2、（１）８，３，９，４，１０，５，（　　），（　　）；

　（２）１，６，７，１２，１３，１８，（　　），（　　）；

3、（１）１，２，４，４，９，８，１６，１６，（　　），（　　）；

　（２）３，１，６，３，１２，４，２４，７，（　　），（　　）；

4、（１）１，２，３，４，５，１２，７，４８，（　　），（　　）；

　（２）１，８，２７，６４，（　　），（　　）；

5、（１）１，３，８，２２，（　　），（　　），４４８；

　（２）２，５，１０，１７，２６，（　　）；

第二讲 找规律填数（二） 【专题精析】 一些图形中的数，也是按一定规律排列的，我们学习丛图形的组合与数的变化中寻找规律，在图中空缺处填上适当的数。

【例题精讲】 在下列各图形中寻找数的变化规律，然后在空白处填上适当的数。

（１） （２） 方法小结：
【基础练习】 在下列各图形中寻找数的变化规律，然后在空白处填上适当的数。

1、 2、 3、 【拓展提高】 1、找规律填数。

（1） （2） 2、找规律填数。

3、下图中第68个图形是☆还是○。

○☆○○○☆○○○☆○○○☆○○…… 4、找规律填数。

（１） 　（２） 5、找规律填数。

第三讲 找规律填数（三） 【专题精析】 有一类数列，它的每一项都是由一组数组成，例如：（1，3，7），（2，6，14），（3，9，21），……的每一项都是3个由数组成，这类数列应该怎样找规律呢？ 【例题精讲】 数列（1，3，7），（2，6，14），（3，9，21），……的每一项都是由3个数组成，问这个数组的第76项内的三个数是多少？ 方方法小结：
【基础练习】 1、 一个数组的每一项都是由三个数组成，它们依次是（1，5，9），（2，10，18），（3,15,27）……问：第93个数组内的三个数是多少？ 2、 在下面的数组中找出与其他数组规律不同的数来，划掉它们，并补上合适的数。

（2，3，5），（4，6，10），（6，8，15），（8，12，20） 3、 一个数列的每一项由4个数组成，他们依次是（1，3，6，9），（1，6， 12，18），（1，9，18，27），……问：第43个数组内四个数的和是多少？ 【拓展提高】 1、先找规律，再填数。

1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1111 1234×9＋5＝（ ） 12345×9＋6＝（ ） 123456×9＋7＝（ ） 1234567×9＋8＝（ ） 2、在下面各题5个数中，选出与其他4个数规律不同的数，划掉它后在括号中选出一个适合的数替换上。

（1） 64，30，16，48，24 （21，55，88，46，12） （2） 42，126，63，168，882 （210，54，450，180，86） 3、先观察各式，再按规律填数。

（1） 81－9＝72 （2） 21×9＝189 882－9＝873 321×9＝2889 8883－9＝8874 4321×9＝38889 88884－9＝（ ） 54321×9＝（ ） 888885－9＝（ ） 21×9＝5 9 4、观察下面几道算式的规律，再进行计算。

11×21＝231 21×31＝651 31×41＝1271 41×51＝2091 51×31＝ 61×21＝ 71×31＝ 5、有一组数列3，5，7，11，13，15，17。

（1）如果其中缺少一个数，这个数是几？应补在何处？ （2）如果其中多一个数，这个数是几？为什么？ 第四讲 从数表中找规律 【专题精析】 运用数列中的一些规律，联系数表中每行、每列之间的规律，找出整个数表的规律，解答所求的问题。

【例题精讲】 下面的图形是按一定规律排列的数学三角形，（1）请按规律填上空缺数字；
（2）第10行第4个数是几？ 方法方法小结：
【基础练习】 先观察下面的数表并按规律填空。

1、 2、 3、 【拓展提高】 1、下面的数表中，第8行左起第6个数是（ ） 2、在空的○内填上适当的数。

3、 在口号里面填上适当的数。

4、（1）在数表的括号里面填上适当的数。（2）第8行第4个数是几？ 5、下面的数表中，第9行第6个是几？ 第五讲 数线段 【专题精析】 下图中有多少条线段呢？ 要想不重复也不遗漏地数出一共有多少条线段，那么就必须有次序、有条理地去数，才能得到正确的结果。

【例题精讲】 下图有多少条线段？ 方法小结：
【基础练习】 1、 数一数，下列图形中有多少条线段？ 2、 3、 【拓展提高】 1、 数出图中有多少条线段？ 2、 数出图中有多少条线段？ 3、 数出图中有多少条线段？ 4、 从上海到徐州之间的长途车，除起点、终点外，还需要8个站。问：汽车要准备几种不同的车票？ 5、 以一条直线上100个点为端点的不同线段有多少条？ 第六讲 数三角形 【专题精析】 数三角形的方法和数线段的方法一样，也要按一定的顺序数，才能做到不重不漏，从而得到正确的结果。

【例题精讲】 数出图中共有多少个三角形。

方法小结：
【基础练习】 1、 数一数下图各有多少个三角形？ 2、 数一数、下图中各有多少个角？ 3、 数一数、下图共有多少个三角形？ 【拓展提高】 1、 数一数、下图中有几个三角形？ 2、数一数、下图中有几个三角形？ 3、数一数、下图中有几个三角形？ 4、数一数、下图中有几个三角形？ 5、数一数、下图中有几个三角形？ 第七讲 数长方形和正方形 【专题精析】 数长方形和正方形的一般方法是先由数一个基本单位组成的小长方形、正方形，再数由两个及以上长方形、正方形组成的长方形或者正方形的个数，最后把它们加起来。

【例题精讲】 数一数、右图中有多少个长方形？ 方法小结：
【基础练习】 1、 数一数，图中有多少个长方形？ 2、数一数，图中有多少个正方形？ 3、数一数，下图中有多少个长方形？ 【拓展提高】 1、 数一数，图中有多少个正方形？ 2、 数一数，图中有多少个正方形？ 3、 数一数，图中有多少个正方形？ 4、 数一数，图中有多少个长方形？ 5、 （1）数一数，图中有多少个带△的长方形 （2）数一数，包含☆的正方形有多少个？ 第八讲 加法的渐变运算----凑整 【专题精析】 同学们都希望在做计算题时，既能正确又迅速，掌握和灵活运用加法交换律、加法结合律，能使运算变得简便快捷，同时，还要学会“凑整”等巧算的方法？ 【例题精讲】 用简便方法计算下面各题 （1）1432＋363＋568＋437 （2）1497＋65 （3）74＋44＋82 方法小结：
【基础练习】 1、（1）74＋29＋126 （2）372＋164＋128＋336 2、（1）54＋397 （2）299＋338 3、（1）79＋282＋121 （2）188＋75＋812＋425 【拓展提高】 用简便方法计算下面各题 1、（1）965＋997 （2）482＋498 2、（1）17＋139＋83＋261＋88＋112 （2）62＋198＋273＋234＋67＋86 3、（1）9＋99＋999＋9999＋99999 （2）19999＋1999＋199＋19＋4 4、（1）1972＋341＋1987 （2）347＋993＋95 5、（1）86＋22＋197＋195 （2）177＋777＋46 第九讲 减法简便运算-----凑整 【专题精析】 在减法运算中，一个数连续减去几个数，等于这个数减去这几个数的和。反之，一个数减去几个数的和，等于这个数连续减去几个数。我们经常运用以上减法的性质通过凑整的方法来简化运算。

【例题精讲】 用简便方法计算下面各题 （1）476－398 （2）776－（311＋276） （3）700－89－11－78－22－67－33－56－44 方法小结：
【基础练习】 1、（1）876－497 （2）7458－1008 2、（1）2547－136－364 （2）977－（54＋77） 3、（1）400－99－1－98－2－97－3－96－4 （2）8753－463－137－284－116 【拓展提高】 用简便方法计算下面各题 1、（1）2000－468－132 （2）553－172－153 2、（1）827－（475－173） （2）1738－（723－262） 3、（1）8624－（653＋1624） （2）1997＋6－（1997－6） 4、（1）7824－222－357－78－643 （2）1827－311－552－137 5、（1）2894－996－95＋3997 （2）916－297－98＋79第十讲 加减法的速算与巧算 【专题精析】 在加减法的混合运算当中，为了使运算简便，有时可以改变运算顺序，有时可以找基准数的方法。当遇到如：95＋59,73－37这种球轮换数的和与差，又可以怎样简便运算呢？ 【例题精讲】 计算下面各题。

（1）9318－（7524－682） （2）10000000－7999999－699999－59999－4999－399－5 （3）94＋92＋88＋87＋90＋91＋85＋94＋93 方法小结：
【基础练习】 1、（1）373－562＋472 （2）782－（534－218） 2、（1）972＋52－804－52＋804 （2）849－828＋528－36－164 3、（1）53＋48＋57＋47＋49＋58＋51＋52 （2）72＋69＋67＋70＋68＋61 【拓展提高】 1、（1）2500－878－97 （2）875－（347＋375） 2、（1）278＋71＋72＋267＋67＋69 （2）254＋229＋272＋246＋250 3、（1）85＋58 （2）74－47 （3）98－89 4、（1）9899＋704 （2）4898－478 5、（1）476＋459＋447＋465＋480＋475＋457＋473 （2）1050－92－89－87－104－98－86－94－99－88－91第十一讲 添加运算符号（一） 【专题精析】 很多同学玩过“算24点”的游戏，取4张扑克牌。运用“＋”、“－”、“×”、“÷”得出结果24.现在我们学习添加运算符号，很像“算24点”游戏，也是在几个数字之间添上运算符号，使算式得到题目给出的结果来。这种游戏需要开动脑筋，讲究一定的方法。

【例题精讲】 在5个4之间添上“＋”、“－”、“×”、“÷”或括号，使组成的算式得数是12. 4 4 4 4 4＝12 方法小结：
【基础练习】 1、在5个2之间添上“＋”、“－”、“×”、“÷”的运算符号，使等式成立。

2 2 2 2 2＝5；

2 2 2 2 2＝5；

2 2 2 2 2＝5；

2、在5个3中间添上适当的运算符号和括号，使等式成立。

3 3 3 3 3＝6；

3 3 3 3 3＝6；

3 3 3 3 3＝6 3、在下面4个4中间添上适当的运算符号和括号，使等式成立。

4 4 4 4＝2；

4 4 4 4＝2；

4 4 4 4＝2；

【拓展提高】 1、添上运算符号，使等式成立。

2 2 2 2 2＝1 2 2 2 2 2＝2 2 2 2 2 2＝3 2 2 2 2 2＝4 2 2 2 2 2＝5 2、添上运算符号、括号，使等式成立。

3 3 3 3 3＝7 3 3 3 3 3＝8 3 3 3 3 3＝9 3 3 3 3 3＝10 3、添上运算符号、括号，使等式成立。

1 2 3 4＝1 1 2 3 4＝1 2 3 5 6＝6 2 3 5 6＝6 4、用以下的数字组成算式，使结果等于24。

7 5 3 4；

5 2 3 6；

4 4 4 4；

8 9 3 1；

5、把运算符号“＋”、“－”、“×”、“÷”填入○内，加上括号，使等式成立。

（1）5○7○8○12○4○2＝75；

（2）6○18○3○7○2＝12；

（3）6○12○5○15○4＝7；

第十二讲 添加运算符号（二） 【专题精析】 添加运算符号的题目中数字如果比较多，结果数据较大，用逆推法就比较难解，可以考虑用“凑数法”来解，但如何解呢？ 【例题精讲】 在下面的算式只能够适当的地方添上运算符号，使等式成立。

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6＝1992 方法小结：
【基础练习】 在下面的算式中适当的地方添上运算符号，使等式成立。

1、 4 4 4 4 4 4 4＝100 2、 8 8 8 8 8 8 8 8＝1000 3、 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9＝2011 【拓展提高】 1、在下面的算式只能够适当的地方添上运算符号，使等式成立。

（1）8 8 8 8 8 8 8 8 8＝1998；

（2）8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8＝1995 2、在下面的算式只能够适当的地方添上运算符号，使等式成立。

（1）7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7＝1993 （2）4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4＝1996 3、在下面的算式只能够适当的地方添上运算符号，使等式成立。

（1）9 8 7 6 5 4 3 2 1＝27；

（2）1 2 3 4 5 6 7 8 9＝100；

4、在□内添上“＋”、“－”、“×”、“÷”符号，使等式成立。

（1）123□45□67□8□9＝100；

（2）12□3□4□5□6□7□89＝100；

5、在下面式子里面加上括号，使等式成立。

50×5＋350÷2＝300；

6＋36÷3－2×4－1＝149；

第十三讲 横式算式谜（一） 【专题精析】 算式谜是一种有趣的数学问题，这类题目的趣味性强，又能培养思维和推理能力。这一讲学习如何把算式中不完整算式补充完整。

【例题精讲】 在下列算式中○、△、□、☆各代表一个数，求它们各自代表的数。

（1）○×9＋18－○＝122 （2）（141－□）×8＝552 （3）4×9－☆÷11＝23 （4）△＋△－129÷3＝35－△ 方法小结：
【基础练习】 1、下列算式中，○，□各表示什么数？ （1）57－○－9＝30 （2）87＋12－□＝18 2、在下列算式中，□，△，☆各表示什么数？ （1）80＋（□＋22）＝176 （2）△＋23－7＝54 （3）☆×（28－13）＝135 3、将数字1~9填入□内，使等式成立。

□＋□＝□ □－□＝□ □×□＝□ 【拓展提高】 1、在下列算式中，○，△，□，☆各代表一个数，求它们各自代表的数。

（1）○＋○＋○－25＝11 （2）85÷5－△＋8×△＝115 （3）102－□－□＝□＋27 （4）9×☆＋5×☆＝252÷3 2、在下列算式中的正方形中填入适当的数字，并要求等式中没有重复的数字，使等式成立。

（1）162÷□＝□□ （2）756÷□＝□□□ 3、将数字0,1,3,4,5,6填入下面的□内，使等式成立，所填数字不能重复。

□×□＝□2＝□□÷5 4、在下列各式的 中分别填入相同的两位数，使等式成立。

（1） （2） 5、将1~8这8个数字填入下面算式的方格中，使等式成立，每个数字仅用一次。

□÷□＝□ □×□＝□□＋□ 第十四讲 横式算式谜（二） 【专题精析】 前面我们学习了横式算式谜的方法，这一讲我们来解决一些比较复杂的算式谜问题。

【例题精讲】 （1）如果□＋☆＝72，并且□－☆＝8，那么□和☆各表示什么数？ （2）如果△＋○＝36，并且○＝△×3，那么△和○各表示什么数？ 方法小结：
【基础练习】 1、（1）如果○＋☆＝216，○＝☆÷8，那么○和☆各代表什么数？ （2）如果△＋☆＝189，△－☆＝3，那么△和☆各代表什么数？ 2、在□里填上数字1~9，使等式成立。

□÷□×□＝□□；

□＋□－□＝□。

3、将2,3,4,6,7,9填入下列□内，使下面算式成立。

□－□＝5；

10－□＝□；

□＋□＝8。

【拓展提高】 1、在下面方格里面填上同一个数字，使等式成立。

（1）□÷□＋□÷□＝2 （2）□＋□－□＋□×□＝12 2、把0~7这8个数字填入下列○中，使每个等式成立，每个数字仅用一次。

○＋○＝○○；

○×○＝○○。

3、在□里最小填几时，下列不等式成立。

（1）72＜40＋□＜103；

18＜□×3＜12；

（2）6＜100－□＜40；

17＜□×4＜50；

4、将1~9这9个数字分别填入下面算式方格中，使等式成立，每个数字仅用一次。

□÷□＝□□□÷□□＝□÷□ 5、在下列各式的□中填入合适的数，使等式成立。

（1）□÷27＝6…… 26；

（2）851÷28＝□…… 11；

（3）4797÷□＝38…… 47。

第十五讲 竖式加减算式谜 【专题精析】 竖式算式中缺少一些数字，就成了算式谜，要将它恢复成完整的算式，需要找到解题的突破口。现在我们研究如何解加减算式谜。

【例题精讲】 在下列的空格中填入合适的数字，使算式成立。

（1） （2） 方法小结：
【基础练习】 在下面各题的空格里填上合适的数，使算式成立。

1、（1） （2） 2、（1） （2） 3、（1） （2） 【拓展提高】 1、在下面各题的空格里填上合适的数，使算式成立。

（1） （2） 2、（1）已知两个四位数的差是7432，那么这两个四位数的和最大是多少？ （2）用数字0~9组成下面的加法算式，每个数字只能用一次，请把这个算式补充完整。

3、在下面各题方框内填入合适的数，使算式成立。

（1） （2） 4、在下面算式里，每一个方框代表一个数字。问：方框中的数字总和是多少？ （1） （2） 5、在下面各题方框内填入合适的数，使算式成立。

（1） （2） 第十六讲 竖式乘除算式谜 【专题精析】 解决乘除算式谜题要比解决加减算式谜题难度更大，但解题的过程更加有趣味。如何解呢，现在就来研究。

【例题精讲】 在线面竖式中，□代表什么数字时，算式才能成立？ （1） （2） 方法小结：
【基础练习】 1、在下面乘法算式的空格内，填上适当的数字，使算式成立。

（1） （2） 2、将1~7这7个数字分别填入空格中，使算式成立。

3、在下列□中填上合适的数，使算式成立。

（1） （2） 【拓展提高】 在下面的□中填上合适的数字，使竖式成立。

1、（1） （2） 6 2、（1） （2） 3、（1） （2） 4、（1） （2） 5、（1） （2） 第十七讲 文字算式谜 【专题精析】 有汉字或英文字母组成的算式称作文字算式谜，解答时就要将这些文字或字母所代表的数字找出来。

【例题精讲】 右边的算式中每个汉字代表不同的数字。当它们各代表什么数字时，算式成立。

方法小结：
【基础练习】 1、下列各道竖式中，A，B，C各代表什么数？ （1） （2） 2、下面各式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。问：当这些汉字代表什么数字时，竖式成立？ （1） （2） 3、用不同数字表示不同的汉字，使竖式成立。

（1） （2） 【拓展提高】 用不同的数字代表不同的汉字或字母，使等式成立。

1、 2、 3、 4、 5、 第十八讲 填数阵图（一） 【专题精析】 数阵图就是将一些数据按照一定的要求排列而成的某种图形，填数阵图是一种游戏，大数学家欧拉都有浓厚的兴趣，但游戏玩起来却不简单轻松哦! 【例题精讲】 将1~13这13个数，填入图中○内，使交叉线上5个○内数的和相等。并要求：（1）5个○内数的和最小；
（2）5个○内数和最大。

方法小结：
【基础练习】 1、把1~6这6个数分别填入图中○内，使横行3个数和竖行4个数的和相等。

2、把数字1~9这9个数字分别填入○内，使两条交叉线上5个数的和都是24。

3、将1~7这7个数填入图中7个○内，使每条边上3个数之和相等，并要求：（1）3个○内数的和最小；
（2）3个○内数的和最大？ 【拓展提高】 1、将2~7这6个数字填入圆中的小圆内，使每个大圆圆内四个数字和都是16. 。

2、将7~12这6个数字分别填入三角形三边的○内，使得每条边上的和都是27。

3、将5~19这7个数字填入空格中，使每一个正方形中的4个数字之和为47。

4、将3~15这13个数字填入图中○内，使每条线上的3个数之和为45。

5、（1）将1~9这9个数字填入图中□内，使每一条边上4个数之和等于20。

（2）将13~20这8个数分别填入图中正方形内，使大正方形每边上3个数之和为48。

第十九讲 填数阵图（二） 【专题精析】 通过上一讲的学习，同学们已经掌握了一些填数阵图的方法，现在我们再来研究一些复杂的数阵图，它们又是如何来填数呢？ 【例题精讲】 把5~11这7个数分别填入图中的7个区域里，使每一圆圈里的四个数之和都等于29。

方法小结：
【基础练习】 1、把2~8这7个数字填入图中空缺部分，使每个圆里面的四个数字之和都等于17。

2、把1~7这7个数字填入图中的○里，使每个大圆上的4个数字之和都等于13。

3、将7~14这8个数字分别填入图中○里，使每个五边形上五个数字之和都等于50。

【拓展提高】 1、把1~7这7个数字填入图中的○里，使每条线上3个数的和每 圆上3个数的和都等于12。

2、把2,4,6,8,10,12,14,16,18这8个数字填入图中□内，使每条横 线，竖线，斜线上3个数的和都等于30。

10 3、把1~9这9个数字填入图中的○内，是每个大圆上的4个数字 之和都等于17。

4、把1~9这9个数字填入图中的○内，使每条线段上的3个数字 之和与两个四边形4个顶点上4个数字之和都是18。

5、把1~9这9个数字填入图中的○内，使7个三角形中每个三角 形顶点的数字之和都相等。

第二十讲 不封闭路线上植树 【专题精析】 植树改造环境与现实生活关系越来越密切。根据不同的需要，采用不同的植树方式，需要栽树的总棵树也不同。为了不浪费树苗和人工，栽树前必须研究这一类“植树问题”。

【例题精讲】 一条新拓宽的公路长400米，计划在公路的两旁植树，每隔8米植树一棵，（1）如果路的两端（起点和终点）各栽一棵，需要多少棵树苗？（2）如果路只有一端栽树，需要多少棵树苗？（3）如果路的两端都不栽树需要多少棵树苗？ 方法小结：
【基础练习】 1、在校园里一条长80米的小路的一侧栽柏树，每隔5米栽一棵，路的一端要栽树，问：一共需要多少棵树？ 2、一条公路长3000米，在公路的两旁每隔8米栽一棵树，两端都栽，那么公路两旁一共需要栽树多少棵？ 3、在相距243米的两棵大树之间补栽26棵小树，每相邻的两棵树之间的距离相等，问：植树的间隔是多少？ 【拓展提高】 1、有一条长2250米的公路，在公路的一侧每隔15米栽一棵梧桐树，现在植树队运来150棵树苗，现分三种情况：（1）如果路的两端都各栽一棵树；
（2）如果路的两端只有一端栽一棵树；
（3）如果两端都不载树。问：在这三种情况下那一种情况的树苗刚好够？那一种情况的树苗会多，多几棵？哪一中情况的树苗不够，差几棵？ 2、一条街道的两边从头到尾，每隔6米埋一根路灯，每2根路灯中间栽一棵树，街道两边共栽200棵树，问街道长多少米？一共埋了多少根电线杆子？ 3、绿化队在路旁栽树，每9棵之间的距离是112米，照这样计算28棵树之间的距离是多少米？ 4、 一位老爷爷在路上匀速的散步，从路旁第一棵树走到第7棵树用了6分钟，如果老爷爷走16分钟应该走到第几棵？如果这条马路的两侧从头到尾共有60棵树，老爷爷来回一趟需要多少分钟？ 5、公路的一边每隔12米栽一棵杨树，小豪骑自行车6分钟共看到176棵树。问：小豪每分钟骑多少米？ 第二十一讲 封闭路线上植树 【专题精析】 漫步在桃红柳绿的湖边，一定感到非常的舒适。环湖栽树的问题就是在封闭的路线上植树的问题。封闭路线上植树与不封闭路线上植树有什么不同呢？ 【例题精讲】 新建一座水库，计划环着它每隔24米栽一棵柳树，每相邻的两棵柳树之间等距离在2棵桃树，水库周长是4300米。问：该水库的周围需要栽多少了柳树苗？多少棵桃树苗？相邻的两棵桃树之间的距离是多少米？ 方法小结：
【基础练习】 1、街心圆形花坛的周长是168米，每隔8米栽一棵杏树。问：该花坛的周围需要栽多少棵杏树？ 2、一个圆形花台，每隔4米摆一盆兰花，每两盆兰花之间摆一盆月季花，共摆60盆花。问：这个花台的周长是多少米？ 3、一个圆形池塘，它的周长是330米，每隔6米栽1棵芍药花，每相邻的两棵芍药花之间栽2棵月季花。问：该池塘周围可以载多少棵芍药花？多少棵月季花？ 【拓展提高】 1、某湖泊周围筑成周长为7896米的林堤，在堤上每隔8米栽一棵柳树，在相邻的两棵之间每隔2米栽一棵桃树，那么该湖四周栽柳树、桃树多少棵？ 2、有一块三角形草坪，草坪的三边分别长60,84,102米。在草坪的周围每隔6米栽一棵树，在相邻的两棵树之间等距离栽两棵月季花。问：这个三角形草坪周围一共栽了多少棵树？每两棵月季花相距多少米？ 3、一个圆形池塘沿周围每隔8米插一面红旗，一共插了64面红旗，每两面红旗之间插3面彩旗。问：池塘的周长水多少米？两面彩旗之间的距离是多少米？ 4、有一个圆形水库，小明沿它走了一周是1800米，如果沿着这一周每隔9米栽一个丁香花，又在每两棵丁香花之间等距离在2棵月季花。问水库周围一共栽了多少棵丁香花、月季花？两棵丁香花之间的2棵月季花相距多少米？ 5、一个长100米，宽40米的长方形游泳池，在离它池边4米的外围（仍是长方形）上每隔2米栽一棵树。问：游泳池周围一共栽了多少棵树？ 第二十二讲 与植树相关的问题(一) 【专题精析】 有些问题从表面上看，并且有出现“植树”两字，但题目中的实质同样是反映封闭线段，或不封闭线段的长度、有几个等分端点 、每段长度，三者关系。如上楼梯就含有与植树问题类似的数量关系。

【例题精讲】 小雨与小豪同住一座高层楼房，一天中午放学时刚好停电，电梯停运。他们同时从1楼往上走，大楼每层有18级台阶，小雨家住第16层楼。问：她一共要走多少级台阶？与小雨分手后，小豪还要走90级台阶，小豪家住几楼？ 方法小结：
【基础练习】 1、某高楼从第1层到第4层共要走45级台阶，已知每一层的台阶数相等，那么从该楼第1层到第9层共要走多少级台阶？ 2、某人要到一座大楼的第8层办事，如果从第1层走到第4层楼共用了48秒，那么以同样速度到第8层，还需要多少秒才能到达？ 3、小雨要到高层建筑的某层，由于电梯停运，他走到了5层用了120秒，后来又以原速走了360秒。问：这时小雨到了第几层？ 【拓展提高】 1、旅游大厦共42层，每层有台阶20级。有一次大厦停电，有位住12层的旅客A只好步行上楼，旅客A要走多少级台阶才能到达他住的那一层？另一位旅客B边走边数，当数到320级台阶时，抬头一看正是他住的那一层，旅客B住在哪一层？ 2、小雨从大楼第1层走到第5层用64秒，小豪从第1层到第5层用80秒。问小雨走到第11层时，小豪走到第几层？ 3、兄妹俩比赛上楼梯，兄跑到第7层时，妹妹恰好跑到第5层，照这样计算，兄跑到第19层，妹跑到第几层？ 4、小豪从大楼第1层跑到第6层用了10分钟，小妹的速度是小豪的一半，问小妹跑到第5层要多少时间？ 5、姐妹俩一起爬一个有420级台阶的山坡，姐每步走3级台阶，妹每步走2级台阶。问：从起点处开始姐妹俩走完这段路共踏了多少个脚印？ 第二十三讲 数三角形 【专题精析】 木工师傅将一根长木料锯短，当锯开一处时木头断成2截，再锯开一处……对照着看，锯木头的问题与植树问题是有关联的。

【例题精讲】 有一根长木料，把它锯成6段需要20分钟，现在要把它锯成18段需要多少分钟？ 方法小结：
【基础练习】 1、把一根木头锯成5段要8分钟，如果锯成14段，那么需要用多少分钟？ 2、 一根木料锯成4段要9分钟，用同样的速度锯另一根木料，24分钟可锯成多少段？ 3、将一根木料锯成1米长的若干小段，一共花了9分钟，已知锯下一段需要1分钟。问：这段木料有多少？ 【拓展提高】 1、一位工人师傅锯一根长17米的钢管，他想把两头损伤的部分分别锯下半米，然后锯了7次，锯成几根一样长的短钢管。问：每根钢管厂多少米？ 2、（1）时钟4点敲4下，用12秒敲完，那么8点敲8下，几分钟敲完？ （2）电工师傅把一捆电线剪成9米长的一段，剪了11次正好剪完。问：这捆电线长多少米？ 3、一位师傅把2米长的钢材锯成每段20厘米用了3小时。如果把同样长的钢材锯成每段长25厘米，那么需要多少小时？ 4、甲、乙、丙三组锯圆木，分别领了5,4,3米长的圆木，要把这三种圆木豆锯成1米长的木段。将圆木锯开一处需要的时间都是7分钟，甲、乙、丙三组最后分别锯了25,24,27段。问：甲、乙、丙三组锯圆木各用了多少分钟？ 5、文化节一列彩色车队共42辆，每辆车长4米，前后两车相隔5米，车队每分钟行120米。问：这列车队经过市中心467米的主会场需要多少分钟？ 第二十四讲 等量代换 【专题精析】 有些题目中涉及存在某种相等数量关系的两个量，我们可以将一种数量代换成另一种量，使题目中的量变得单一，从而把复杂变为简单，就可以找到解题的途径。

【例题精讲】 下面是四架天枰。枰上有小狗，虫子，小鸟，小猫。请你算一算，一个小狗的重量和几个小猫的重量相等？ 方法小结：
【基础练习】 1、 已知△＋△＋△＋○＋○＝28，○＝△＋△。问：△＝？， ○＝？ 2、已知□＋□＝○＋○＋○，□＋□＋□＝☆＋☆，问：☆＋☆ ＋□＝？○，如果☆＝45，那么○＝？ 【拓展提高】 1、1只小狗的重量＋1只小猫的重量＝7只鹅的重量；

2只小猫的重量＝6只鹅的重量；

1只小狗的重量＝（？）只鹅的重量。

2、加入18只兔子换2只羊，9只羊可以换3头猪，8头猪可以换2头牛，那么5头牛可以换多少只兔子？ 3、一条大鱼鱼尾重2500克，鱼头的重量等于鱼尾的加上鱼身一半的重量，而鱼身重量等于鱼头加鱼尾的重量。问：这条大鱼有多重？ 4、小羽花13元2角钱买4支签字笔和5本笔记本，已知2支签字笔价格和3本笔记本价钱相等。问：1支签字笔和1本笔记本的价钱各是多少钱？ 第二十五讲 用等量代换解应用题 【专题精析】 两个完全相等的量可以相互代换，解应用题经常用到这种方法。有些等量关系在题目中并不是很明显，通过观察、分析，才能把等量关系弄明确。

【例题精讲】 18只桶中的牛奶重量都相等，如果从每桶牛奶中倒出16千克牛奶，那么18只桶中所剩下牛奶的总量就等于原来12只桶中的牛奶的重量。问：原来每只有牛奶多少千克？ 方法小结：
【基础练习】 1、将一堆水果糖装满15只同样盒子的包装盒，如果从每个包装盒里各取出120粒水果糖，那么15只包装盒所剩下的糖果正好可装满9只包装盒。问：原来每只包装盒有水果糖多少千克？ 2、被减数、减数与差的和是1450。问：被减数是多少？ 3、买20米花布和30米白布共花190元，已知1米花布比2米白布少1元。问：每米花布和白布各多少元？ 【拓展提高】 1、被减数、减数与差的和是8296，减数比差大2倍。问：被减数、减数、差各是多少？ 2、学校买来20个篮球和50个排球共1500元，已知4个篮球的价格与5个排球的价格正好相等。问：篮球和排球的单价各是多少元？ 3、织毛线外套48件和毛线内衣36件，共用毛线108千克，已知4件毛线外套用线相等于6件毛线内衣用线。问：每件毛线外套和每件毛线内衣各用毛线多少千克？ 4、有940个水蜜桃分别装在18个纸箱和20竹篮里，如果2个竹篮里装的水蜜桃比1个纸箱装的多10个，问：每个纸箱和竹篮各装水蜜桃多少个？ 5、甲店有玩具狗若干，乙店有玩具熊若干。如果甲店的全部玩具狗换回乙店同样多的玩具熊，就要补给乙店840元；
如果甲店不补钱，就要少换回30个玩具熊。已知3个玩具熊比5个玩具狗少16元，那么甲店原有玩具狗多少个？ 第二十六讲 等差数列 【专题精析】 有一类数列从第二项起，后一项与前一项的差都相等，称为等差数列，后一项与前一项的差称为公差。数列中的第一项称为首项（a），最后一个称为末项（a），数列中数的个数称为项数。

【例题精讲】 已知等差数列3,7,11,15,19,23，……求：（1）这个数列的第17项是多少？（2）215是这个数列的第几项？ 方法小结：
【基础练习】 1、已知数列2,4,6,8,10，……，120.求：（1）这个数列有多少项？（2）这个数列第33项是多少？（3）第53项是多少？ 2、已知数列3,6,9,12,15，……求：（1）它的121项是多少？（2）261是它的第多少项？ 3、如果一个等差数列的首项是4，公差是5，问：它的第9项是几？494是它的第几项？ 【拓展提高】 1、如果一个等差数列的第8项是23，第10项是29。问：该等差数列的第12项是多少？ 2、小松鼠从一棵松树下开始起跳，它第一步跳50厘米，以后每一步都比前一步多跳3厘米，当它跳完第30步，正好跳到第二棵松树下。问：小松鼠最后一跳跳了多远？ 3、活动课上，三（1）班全班同学玩接力棒赛跑游戏，规定跑第一棒的同学跑30米，跑第二棒的同学跑32米，第三棒的同学跑34米……小明跑第9棒，他应该跑多少米？小华跑最后一棒，他跑了136米。问：三（1）班共有多少同学？ 4、小白兔采回来一大堆蘑菇，它准备一日三餐都吃一些蘑菇，第一次吃3个，以后每次都比前一次多吃2个，某餐小白兔按规定饱餐了71个蘑菇后它发现蘑菇全部吃完了。问：小白兔吃了多少餐蘑菇？最后那餐是是第几天的哪一餐？ 5、电影院有28排座位，每排都比前一排多2个座位，最后一排有82个座位。问：该电影院第一排有多少个座位？ 第二十七讲 配对求和 【专题精析】 聪明的数学家高斯小时候就非常巧妙地算出1＋2＋3＋……＋100的结果，小高斯算得又快又准的方法就是配对求和，也就是现在大家在用的等差数列的求和公式。

【例题精讲】 计算：1＋2＋3＋……＋100. 方法小结：
【基础练习】 1、1＋2＋3＋……＋200. 2、5000－3－7－11－……－79。

3、6＋11＋16＋21＋……＋196。

【拓展提高】 1、计算：4000－3－6－9－……－150。

2、有30个数，第一个数是9，以后每个数都比前一个数大4。问：这30个数连加和是多少？ 3、求全部两位自然数的和。

4、有一个挂钟，一点钟敲一下，两点钟敲2下，三点钟敲3下……12点钟敲12下，每逢半点钟也敲一下。问：这个挂钟三昼夜共敲了多少下？ 5、图中每相邻3个小黑圆点组成一个小三角形。问：图中这样的小三角形有多少个？小黑圆点多还是小三角形多？ 第二十八讲 乘法的简便运算-------凑整 【专题精析】 在加减运算中，我们的凑整方法大大的简化了运算，这种凑整方法同样也可以运用在乘法中。凑整的主要方法是运用乘法定律，根据需要还可以拆数，在凑整。

【例题精讲】 计算下面各题：
（1）8×23×125 （2）25×（200＋4） （3）625×64×25 方法小结：
【基础练习】 1、（1）43×20×5 （2）25×91×4 2、（1）43×76＋76×57 （2）58×143＋41×143＋143 3、（1）125×32×49×25 （2）32×5×625 【拓展提高】 用简便方法计算下列各题。

1、（1）25×25×25×32 （2）125×24×25 2、（1）119×17＋42×119＋119×41 （2）738×97－738×34－738×63 3、（1）326×101－326 （2）125×796 4、（1）999×222＋333×334 （2）382×72＋618×73 5、（1）125×88 （2）375×16＋125×24 第二十九讲 乘法的速算与巧算 【专题精析】 当乘数为一些特殊的数时，我们可以用巧算的方法使运算速度大大提高，这里介绍几种巧算的方法。

【例题精讲】 计算下列各题：
（1）73×77 （2）63×43 （3）25×99 （4）36×11 方法小结：
【基础练习】 1、（1）13×11 （2）57×11 2、（1）48×42 （2）73×33 3、（1）53×99 （2）75×99 【拓展提高】 1、（1）317×11 （2）5613×11 2、（1）93×97 （2）49×69 3、（1）924×999 （2）485×999 4、（1）223×111 （2）435×111 5、（1）999×999＋1999 （2）（9＋99＋999）×9999 第三十讲 除法中的巧算 【专题精析】 在除法运算中，运用除法运算的规律和性质，可以使用简便运算：（1）一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积；
（2）两数之和（差）除以一个数，可以用两个数分别除以那个数，然后再求两个商的和（差）；
（3）在连除中可以交换除数的位置，商不变；
（4）被除数和除数乘（除）以同一个非零数，商不变。

【例题精讲】 用简便方法计算：
（1）83000÷125÷8 （2）（260＋195）÷13 （3）875÷25 （4）7227÷73 方法小结：
【基础练习】 1、（1）6300÷25÷4 （2）88000÷125÷8 2、（1）（860＋215）÷43 （2）（5000－375）÷25 3、（1）9750÷25 （2）2000÷125 【拓展提高】 1、（1）56560÷8÷7 （2）6300÷25÷7÷4 2、（1）135÷（15÷8） （2）625÷（100÷16） 3、（1）7425÷75 （2）4257÷43 4、（1）54÷26＋115÷26＋65÷26 （2）1560÷（78÷4） 5、（1）1518÷57＋1477÷57－373÷57 （2）（1234567＋2345671＋3456712＋4567123＋56712345＋6712345＋7123456）÷4 第三十一讲 乘除法的简便运算 【专题精析】 在乘除混合运算中，我们通常采用添加或者去掉括号的方式来改变运算顺序，以达到简化运算的目的。那么当括号前是乘号或者除号，括号内的数应该怎样变化呢？ 【例题精讲】 计算下面各题：
（1）204×108÷18 （2）10000÷（625÷8） （3）44000÷25 方法小结：
【基础练习】 1、（1）160×24÷6 （2）78×352÷176 2、（1）400÷（25÷4） （2）1920÷（64÷4） 3、（1）3600÷25 （2）64000÷125 【拓展提高】 1、（1）777×75÷15 （2）145×584÷292 2、（1）648÷（18×3） （2）945÷（7×9） 3、（1）（24×9×7×6）÷（4×6×7） （2）（85×72×57）÷（17×19×18） 4、（1）232×465÷787÷465×787÷232 （2）147×516×369369÷（147×369×258） 5、（1）9999÷（99÷9） （2）99999×77777÷11111 第三十二讲 数的整除 【专题精析】 先看两道除法算式：（1）125÷5＝25；
（2）78÷12＝6.5。两道除法题都没有余数，因此都可以除尽，题（1）中被除数、除数、商都是整数，我们称125能够被5整除；
而题（2）中被除数、除数、商中有一个不是整数，就不能称作为整除，只能说78倍12除尽。这就是我们这一讲讨论的2,3,5整除的特征。

【例题精讲】 判断238,345,582,1650,4396这5个数，哪些能被2整除，哪些能被5整除。

方法小结：
【基础练习】 1、判断144,295,376,1980,5466,8855,34180,42952,8950,775这10 个数，哪些能被2整除，哪些能被5整除，哪些能同时被2、5整除。

2、在3,6,5,0组成的不重复的4位数中，能同时被2,5整除的数有哪些？ 3、判断1978,9735,2040,54321,7339,498,358,928这8个数，能否被3整除。

【拓展提高】 1、（1）请在2394的左右各添加一个数字，使得六位数能够被2整除，并满足：
① 可能的大；
② 可能的小。

（2）请在2917的左右两边添写一个数字，使六位数能够被3整除，并满足：① 可能的大；
② 可能的小。

2、（1）用4,5,6,9组成的没有重复的四位数中，能被2,3,5整除的数各有几个？ （2）由3,0,4,5,这四个数字组成的没有重复数字的四位数中，能同时被2,3,5整除的数有哪几个？ 3、（1）能同时被2,3,5整除的最大三位数是多少？ （2）能同时被2,3,5整除的最小的四位数是多少？ 4、（1）要使六位数能同时被3,5整除，A，B应是几？ （2）要使六位数能同时被3,5整除。问：A和B应分别是多少时，可能得到最大的六位数和最小的六位数？这两个六位数分别是多少？ 5、（1）被2,3,5除余1且不等于1的最小整数是几？ （2）被3,5,除余2且不等于2的最小整数是多少？ 第三十三讲 有余数的除法 【专题精析】 把一批同学平均分给几位同学，分的结果是一种全部分完，一种是有剩余，并且剩余的本书一定比同学数少，否则还可以继续分下去，说明在有余数的除法中，余数必须小除数。

【例题精讲】 （1）□÷8＝4……（ ），当余数最大时，被除数应该填几？ （2）□÷□＝15……10，要使除数最小，被除数应填几？ 方法小结：
【基础练习】 1、（1）□÷18＝7……（ ），当余数最大时，被除数应填几？ （2）□÷□＝25……4，要使除数最小，被除数应填几？ 2、下面题中，被除数最大可填几？最小可填几？ □÷27＝3……□ □÷27＝3……□ 3、 一个数除以9，所得的商与余数相同。问：这样的数是哪几个数？ 【拓展提高】 1、将3,12,13,159这4个数分别填入下面式子的括号里，使等式成立。

（ ）÷（ ）＝（ ）……（ ） 2、算式中，除数和商各是多少？ （1）56÷□＝□……4 （2）33÷□＝……3 3、下列算式中，商和余数相同。问：被除数是哪几个数？ （1）（ ）÷6＝□……□ （2）（ ）÷8＝□……□ 4、一个三位数除以26，商和余数相等。请写出6个这样的除法算式，使被除数尽可能大。

5、（1）202除以一个两位数，余数是6，请写出这样的所有两位数。

（2）数一堆橘子，5个5个地数还多1个，7个7个地数也多1个。问这堆橘子至少有多少个？ 第三十四讲 周期问题 【专题精析】 生活中很多按一定规律重复的现象，如12年为一个生肖属相轮转、一年四季、一周7天、一天24小时等。生活中出现的类似这种按一定周期变化的问题，称为周期问题。

【例题精讲】 节日里校门口马路边上插着一排彩旗，彩旗按四面红色、三面黄色、两面绿色一面白色的规律排列（如下图）。问：第35面旗子是什么颜色？第90面旗子是什么颜色？ 方法小结：
【基础练习】 1、有一串白珠子和黑珠子按下图 的形式排列。问：第27颗珠子是什么颜色？第78颗珠子是什么颜色？ 2、把99面小红旗按下图排列出来，问：其中有几面深色旗？最后一面试深色还是白色？ 3、灯光夜市在街道上挂的小彩色珠子是按5个红、4个白、3个绿、2个紫、1个白色排列的。问：第1686个是什么颜色的灯珠？第2011个呢？ 【拓展提高】 1、甲、乙、丙、丁四人玩踢毽子游戏，规则是每人踢毽子的个数总比前面1个人多1个，即甲1个，乙2个，丙3个，丁4个，甲5个，乙6个 ……问：踢第37个毽子的是谁？踢83毽子的是谁？ 2、2009名战士按下面的方法排列成5列：
问：1000名战士在哪一列，最后一名战士站第几列？ 3、学校大楼面前摆了一排花盆，每两盆月季花之间摆3盆杜鹃花，一共摆了126盆。如果第一盆是月季花，那么共摆了多少盆杜鹃花？ 4、有一个数列3,7,1,7,7,9,3,7，……从第三个数起每个数都是前两个数乘积的个位数字。问：（1）这个数列的第2011个数是几？（2）这个数列前326个数的和是多少？ 5、有一列数97835497835497……问：（1）第88个数是几？（2）第327个数是几？（3）这327个数的和是多少？ 第三十五讲 个位数字是几 【专题精析】若干个自然数连乘，乘积很大。如果只要知道个位数字是几，就只研究个位数字的排列规律。

【例题精讲】 100个7相乘，积的各位数字是几？178个7相乘，积的个位数字是几？2011个7相乘，积的个位数字是几？ 方法小结：
【基础练习】 1、100个3相乘，积的个位数字是几？2011个3相乘，积的个位数字是几？ 2、（1）相乘，积的个位数字是几？ （2）相乘，积的个位数字是几？ 3、157个44相乘，积的个位数字是几？2011个44相乘，积的个位数字是几？ 【拓展提高】 1、＋的个位数字是几？ 2、＋的个位数字是几？ 3、相乘，积的个位数字是几？ 4、100个8相乘，积的个位数字是几？259个8相乘，积的个位数字是几？ 5、（1）1×2×3×4×5×6×7×8×9相乘，积的个位数字是几？ （2）1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9和的个位数字是几？ 第三十六讲 时间与日期 【专题精析】 我们天天与时间打交道，一星期7天，一天24小时，周而复始。如果知道今年5月1日是星期五，那么怎样计算出今年10月1日是星期几？明年的元旦是星期几呢？ 【例题精讲】 已知2009年1月1日是星期四。问：（1）2009年6月1日是星期几？（2）2009年10月1日是星期几？（3）2011年10月1日是星期几？ 方法小结：
【基础练习】 1、2010年1月1日是星期五。求：（1）2010年5月1日是星期几？（2）2010年6月1日是星期几？（3）2010年12月25日是星期几？ 2、图书馆每天开放时间是上午8:00---13:00，下午2:00---6:00，每天开放多少时间？ 3、在下列括号里面填上平年或闰年。

1800年（ ） 2007年（ ） 1988年（ ） 2012年（ ） 2100年（ ） 1966年（ ） 【拓展提高】 1、（1）一个月中最多几个星期六？最少几个星期六？ （2）某年5月份4个星期四、5个星期五、这年的儿童节是星期几？ 2、（1）一个汽车站2个小时出发15辆长途汽车。照这样计算，从上午6时到下午4时要出发多少辆长途汽车？ （2）2008年2月，小豪家的爷爷过了第17个生日，他爷爷的生日是几月几日？小豪爷爷是哪年出生的？ 3、小雨的爸爸做一个科学实验，规定每隔12小时做记录一次，他是5月16日下午4：0:0做一次实验。问：做第六次记录是几月几日？第15次记录是几月几日？ 4、一次小雨一家三口外出旅游，上午出门前小雨将昨天的日历撕去，过了三天回到家，小雨一连撕了3张日历，3张日历的日期数加起来正好是60。问：小雨一家是几号外出的？ 5、《周末》报每星期五出版一期，2008年5月份第一期是5月2日出版的，那么2009年1月份第一期应在哪一天出版？ 第三十七讲 试商技巧 【专题精析】 用四舍五入法对下列除式进行试商和求解。

（1） （2） （3） （4） 【例题精讲】 方法小结：
【基础练习】 1、用四舍五入法试商并求解。

（1） （2） （3） 2、用四舍五入法试商并求解。

（1） （2） （3） 3、下面各式中，在括号中填商是几位数。

（1）3210÷33的商是（ ）位数 （2）147÷18的商是（ ）位数 （3）1206÷31的商是（ ）位数 （4）211÷85的商是（ ）位数 【拓展提高】 1、在括号里，最大能够填几？ （1）70×（ ）＜259 （2）60×（ ）＜483 （3）（ ）×28＜172 （4）（ ）×45＜320 2、不进行计算，说出下面几道题做得对与不对。

（1）23170÷39＝59 （2）16745÷35＝57 （3）1428÷28＝15 （4）38500÷77＝500 3、用“无除一半直商五”方法对下列除式进行试商和求解。

（1） （2） （3） 4、下列各题，先说出商是几位数，再用“同头无除商八、九”的方法进行试商。

（1）4312÷49 （2）5096÷52 （3）6141÷69 （4）32604÷33 5、说出用什么方法试商，并计算出结果。

（1）3432÷66 （2）4418÷47 （3）12006÷23 （4）4263÷49 第三十八讲 包含与排除 【专题精析】 如果问你，戴帽子的女生有12人，戴围巾的女生有8人，一共有多少人？你一定会回答12＋8＝20（人），不过我们这里有2个人既戴了帽子，又戴了围巾，戴帽子的12人中有她们两人，戴围巾的8人中也有她们2人。这样她们两人被重复计算1次，所以实际总数应该是12＋8－2＝18（人）了，这里我们采用的就是包含排除法。

【例题精讲】 一次数学测试中有两道附加题，三年级180名同学中，做对第一道题的有112人，做对第二道题的有97人，每人至少做对一题。问：两道题都做对的有多少人？ 方法小结：
【基础练习】 1、放学了，小羽所在的邹鹰小队一行人排队走出校门，从前面数起小羽是第7个，从后面起小羽是第6人。问：邹鹰小队有几个人？ 2、学校操场上排放整齐的小凳子上坐满了人，准备放一场露天电影，小豪的座位从前数是第4个，从后面是第17个，从左边数是第12个，从右边是第11个。问：看电影的有多少人？ 3、两根木棍放在一起，从头到尾长102厘米，中间重叠部分长20厘米，其中一根长58厘米。问：另一根木棍长多少厘米？ 【拓展提高】 1、将两段相同长度的纸条粘接在一起，接成一段更长的纸条，这段更长的纸条长86厘米，中间重叠部分长是8厘米。问：原来两条纸条各长多少厘米？ 2、将一样大小的12张纸粘接在一起，每张纸长10厘米，粘贴处都是2厘米。问：连接在一起的纸一共长多少厘米？ 3、三（1）班有50名学生，做完外语作业有22人，做完数学作业的有25人，既没有做完外语作业，也没有做完数学作业的有8人。问：两门功课都做完的有多少人？ 4、如图，在桌面上有两张纸，有一部分叠加在一起，长方形纸长25厘米，宽18厘米，三角形的面积是90平方厘米，阴影部分是三角形与长方形纸的重叠部分，已知阴影部分面积是45平方厘米。问：三角形与长方形覆盖住桌面的面积是多少平方厘米？ 5、（1）在自然数1~200中，能被3或5中任一个数整除的有多少个？ （2）在1~1000中，不能被2,3中任何一个整除的有多少个？ 第三十九讲 盈亏问题 【专题精析】 小朋友分铅笔，每人分3支，则多6支，每人分5支则少8支。问：有多少个小朋友，共多少支铅笔？这类应用题是关于人们在分配东西时，按一种分配方案分，东西有余，按另一种方法分，东西不足，求分配的人数及总量，该类问题叫做盈亏问题。

【例题精讲】 兔妈妈给兔子们分胡萝卜。如果每只兔子分3个，则多17个，如果每只兔子分5个，还少13个。问：有多少兔子？有多少胡萝卜？ 方法小结：
【基础练习】 1、幼儿园老师给小朋友分果冻，如果每人分7个，则多15个果冻，如果每人分5个，则少3个果冻。问：幼儿园有多少小朋友？有多少果冻？ 2、小羽带了一些钱去买香蕉，如果买4千克，则还剩下8元钱；
如果买6千克，则少4元，问：香蕉每千克多少元？小羽带了多少元？ 3、绿化队一次植树。如果每人栽15棵树，则还剩下27棵没有人栽；
如果每人栽18棵，就少3棵树苗。问：绿化队一次要栽多少棵树苗？ 【拓展提高】 1、学校组织春游，租了几辆车。如果每车座55人，则有15人乘不上车；
如果每车多坐5人，恰好可多出一辆车。问：学校一共租了几辆汽车？有多少学生？ 2、学校舞蹈队同学排队。如果每行站8人，则多出3人；
如果每行站9人，就少一行。问：学校舞蹈队一共站了多少行？舞蹈队有多少人？ 3、老师给同学发练习本。如果每人发8本，则少124本；
如果每人发6本，则少2本。问：有多少名学生？有多少练习本？ 4、商店卖一批小收音机。如果每台58元，则可盈利1200元；
如果每台卖55元，则可盈利600元。问：商店原有多少台收音机？进价多少元？ 5、学校给新生安排宿舍。如果男生5人住一间，则有12人无法安排；
如果6人住一间，则刚好安排完。问：学校共有男生宿舍多少间？住宿的男生有多少人？ 第四十讲 鸡兔同笼 【专题精析】 古代有一道趣题：鸡与兔在同一笼中，上有35头，下有94足。问：鸡、兔各有多少只？这就是鸡兔同笼问题。

【例题精讲】 今有鸡兔同笼，上有头180个，下有脚430只。问：笼中鸡、兔各有几只？ 方法小结：
【基础练习】 1、笼子里面关有一些鸡和兔，从上面数有90个头，从下面数共有240只脚。问：笼子中鸡、兔各有多少只？ 2、动物园有一群鸵鸟和长颈鹿，它们共有220只眼睛，360只脚。问：动物园里鸵鸟和长颈鹿各有多少只？ 3、小豪有1元2角和8角的邮票共100张，总价值106元。问：问小豪1元2角和8角的邮票各有多少张？ 【拓展提高】 1、学校师生120人去植树，教师每人植树3棵，学生每人植树1棵，共植树180棵。问：该校老师和学生各有多少人？ 2、鸡兔同笼，鸡比兔多54只，共有612条腿。问：笼中鸡、兔各有多少只？ 3、操场上方有47辆车，有三轮车和自行车两种车子，两种车子共有轮子116个。问：操场上三轮车和自行车各有多少辆？ 4、146名师生去划船，一共坐30条船，其中大船坐6人，小船坐4人。问：师生租大船和小船各几条？ 5、学校进行数学竞赛，共有试题15道，每做对一题得10分，做错一道或者不做倒扣4分，小羽得了94分。问：他做对多少题？ 第四十一讲 平均数（一） 【专题精析】 要想知道两个班的考试成绩哪一个好些，就会分别计算出两个班的平均成绩，比较哪班的平均分数高一些，那个班的成绩就好。这类问题就是平均数问题。

【例题精讲】 小李5月份1~10日内完成了一批零件的加工任务，他每天加工的个数分别是：93,87,95,97,96,89,87,94,93,89个。问：小李5月份上旬平均每天加工多少个零件？ 方法小结：
【基础练习】 1、水果店有5箱苹果，每箱的重量分别是：32,40,24,36,33千克。问：平均每箱苹果重多少千克？ 2、寒假里面小雨用14天看完一本书，前6天她看了150页。后8天她每天看了32页。问：小羽平均每天看多少页？ 2、 王师傅4月份上半月共加工零件4320个，下半月每天加工 320个。问：王师傅4月份平均每天加工多少个零件？ 【提高拓展】 1、小豪同学期末考试语文和数学的平均成绩是93分，科学考了94分，英语考了100分。问：他4门功课的平均成绩是多少分？ 2、星期天小菲和同学去登山，上山每分钟走50米，36分钟到达山顶，然后按原路下上，每分钟走75米。问：小菲她们上、下山的平均每分钟走多少米？ 3、学校排练舞蹈节目，在三年级以上同学中选演员，选出的18位女生平均身高150厘米，12位男生平均身高160厘米，求舞蹈队员的平均身高？ 4、小羽期中考试语文、数学、英语三科平均成绩是93分，其中语文、英语两科的平均成绩是91分。问：小羽数学得了多少分？ 5、连续7个单数的和是175。问：这7个单数各是几？ 第四十二讲 平均数（二） 【专题精析】 平均数的含义就是将数量多的移给数量少的，最终使各个数量相等，所以在求出甲队队员的平均身高大于乙队队员的平均身高时，并不表示甲队中所有人的身高都超过乙队队员，这就是平均数与个别数的问题。

【例题精讲】 小羽前4次数学测试的平均成绩是92分，前5次数学测试的平均成绩是93分。问：第5次测试她得了多少分？ 方法小结：
【基础练习】 1、小豪期末考试语文、科学、英语的平均成绩是82分，数学的成绩公布后，他的平均成绩提高了3分。问：小豪数学考了多少分？ 2、小豪参加4次数学测验，平均成绩是81分，他想通过第5次测验，将5次平均成绩提高到不低于83，那么第5次测验他至少要得多少分？ 3、7个数的平均数是32，如果将这7个数按从小到大的顺序排列，那么前4个数的平均数是27，后4个数的平均数是37.问中间的一个数是多少？ 【提高拓展】 1、3个连续的自然数的和是291，这三个数中最大的一个是多少？ 2、5个数的平均值是65，若把其中一个数改为92，平均值为78。问：这个数原来是多少？ 3、小羽前几次英语测验平均分为86分，这一次要考100分，才能把平均成绩提高到88分。问：这次是小羽的第几次英语测验？ 4、某学生语文、数学、英语三科的平均成绩是93分，其中语文、数学的平均分是91分，语文、英语的平均分是94分。问：该同学三门功课的成绩各是多少？ 5、有5个数的平均数是29，如果把其中的一个数该为14，那么这5个数的平均数就变为27.问：这个改动的数原来是多少？ 第四十三讲 和倍问题（一） 【专题精析】 有这样一类问题：已知三（1）班有54人，其中男生的人数是女生人数的2倍，求男女生各有多少人？这类已知两个数量的和与两个数量的倍数关系，求这两个数量分别是多少的题就是“和倍问题”。

【例题精讲】 书架上一、二层共有数762本，第一层数的本书比第二层数的本数的2倍还少42本。问：第一、二层各有多少本书？ 方法小结：
【基础练习】 1、被除数与除数的和是448，商为7。问：被除数、除数各是多少？ 2、长方形的周长是42厘米，长是宽的2倍。问：这个长方形的长和宽各是多少？ 3甲、乙两人3分钟共行720米，已知甲每分钟走的路程是乙每分钟走的路程的3倍。问：甲每分钟比乙每分钟多行多少米？ 【拓展提高】 1、禽养场有鸡和鸭共2520只，其中鸡的只数比鸭的只数的2倍还多720只。问：禽养场鸡、鸭各有多少只？ 2、小羽和小豪共有邮票162张，小羽的邮票比小豪的邮票的3倍少还6张。问：小羽、小豪各有邮票多少张？ 3、一个减法算式中，被减数、减数与差的和是240，而减数是差的5倍。问：被减数、减数、差各是多少？ 4、甲、乙、丙三人共有钱480元，甲的钱数是乙的2倍，乙的钱数是丙的3倍，那么甲、乙、丙三人各有多少钱？ 5甲、乙、丙三人共加工1800个机器零件，任务完成时，甲加工的零件的个数是乙的2倍，又知乙比丙多加工200个。问：甲、乙、丙三人各加工多少个机器零件？ 第四十四讲 和倍问题（二） 【专题精析】 有些应用题中，原来的两个量之间并没有倍数关系，但总量是确定的。将两个数量相互调正移动后，就成了倍数关系，这样可根据这种关系来进行求解。这一讲我们就来学习这种复杂的“和倍问题”。

【例题精讲】 甲仓库存有大米102吨，乙仓库存有大米138吨，要使乙仓库的大米是甲仓库的3倍。问：甲仓库应运多少大米到乙仓库？ 方法小结：
【基础练习】 1、姐妹俩集邮，姐姐有邮票78张，妹妹有邮票120张。问：姐姐给多少张邮票后，妹妹的邮票是姐姐的2倍？ 2、三（1）班原来有学生45人，现在有转来了3名男生，那么男生的人数就是女生人数的2倍。问：三（1）班原来有多少男生？ 3、甲桶有油320千克，乙桶有油180千克，要使甲桶的油比乙桶多3倍。问：要从乙桶倒多少千克的油到甲桶？ 【拓展提高】 1、两数相除，商为7，余数为17，被除数、除数、商和余数的和是233，那么被除数、除数分别是多少？ 2、师、徒两人共生产零件960个，其中师傅有11个不合格的零件，徒弟有14个不合格的零件，已知师傅合格的零件比徒弟合格的零件多3倍。问：师、徒各生产零件多少个？ 3、被除数、除数、商和余数的和是963，已知除数是23，余数是2。问：被除数比除数多多少？ 4、甲、乙、丙三人共有278元。如果甲用去5元，就与乙的钱一样多；
如果乙给丙3元，丙的钱就是乙的3倍。问：三人原来各有多少钱？ 5、某校三年级甲、乙、丙、丁四个班共有图书378本。如果甲班增加2本，乙班减少2本，丙班的本数乘以2，丁班的本数除以2，四个班的图书就相等。问：四个班原来各有多少本图书？ 第四十五讲 差倍问题（一） 【专题精析】 已知小鸡比小鸭多12只，又知小鸡的只数是小鸭的3倍。问：小鸡、小鸭各有多少只？这是一道已知两数之差和两数的倍数关系，求这两个数各是多少的典型“差倍问题”。这一讲我们来研究差倍问题的解法。

【例题精讲】 白兔和灰兔一起采蘑菇，白兔比灰兔多采198个蘑菇，并且白兔采的蘑菇数是灰兔采的3倍。问：白兔、灰兔各采了多少蘑菇？ 方法小结：
【基础练习】 1、师傅和小陈加工一批机器零件，小陈比师傅多加工279个，小陈加工的零件数是师傅的4倍。问：师傅和小陈各加工零件多少个？ 2、学校美术兴趣小组的女同学人数是男同学人数的3倍，女同学比男同学多78人。问：学校美术兴趣小组共有多少同学？ 3、哥哥的钱比弟弟的钱多99元，哥哥的钱正好比弟弟的钱的3倍还多1元。问：哥哥与弟弟各有钱多少元？ 【拓展提高】 1、姐妹俩有同样多的邮票，后来姐姐送给妹妹120张，这时妹妹的邮票是姐姐的4倍。问：姐、妹俩原来有多少张邮票？ 2、水果店有两箱相同重量的橘子，第一筐卖出23千克，第二筐卖出2千克后，此时第二筐的橘子正好是第一筐的4倍。问：两筐橘子原来各有多少千克？ 3、甲煤场存煤是乙煤场存煤的3倍，从甲煤场运走8500千克，从乙煤场运来500千克，两煤场所剩煤相等。问：各煤场原来有多少千克煤？ 4、把数字9写在一个两位数的左边，再把得到的三位数加上400，它们的和是这个两位数的27倍。问：这个两位数时多少？ 5、学校图书馆购进一批箱装文艺书和辅导书。每箱都有75本，购进的辅导书是文艺书的4倍，其中文艺书比辅导书少15箱。问：图书馆购进的文艺书和辅导书各多少本？ 第四十六讲 差倍问题（二） 【专题精析】 解答倍数问题是必须要认真分析题意，努力找到两个数量的差和两个数量的倍数关系，利用公式求大数与小数。这一讲我们来研究复杂的差倍问题。

【例题精讲】 一个书架的上、下两层的图书一样多，从上层取出44本，下层放入图书18本，这时下层的图书是上层的3倍。问：上、下两层原各有图书多少本？ 方法小结：
【基础练习】 1、哥哥有课外书56本，弟弟有38本课外书，两人捐出同样多的课外书后，哥哥剩下的课外书是弟弟剩下的3倍。问：两人各捐出课外书多少本？ 2、（1）在一个数字的末尾添上一个零，就会比原来的数多72。问：这个新数是多少？ （2）在一个自然数的末尾添上2个零，就成了一个新数，这个数比原来的数多693。问：这个数是几？ 3、甲、乙两位同学去买文具，甲带了56元，乙带了34元，两人花了同样多的前后，甲剩余的钱时乙剩余钱的3倍。问：甲、乙各剩下多少钱？ 【拓展提高】 1、一道除法算式题，商是12，被除数比除数多979，请写出这个除法算式。

2、甲、乙两人去书店买书，甲带的钱时乙带的钱的3倍，甲用去240元，一用去60元后，两人余下的钱一样多。问：甲原来有多少钱？ 3、食堂有两桶重量相等的油，如果甲桶倒出36千克油，乙桶倒出8千克油，这时乙桶里余下的油是甲桶余下油的3倍。问：甲、乙两桶原来共有多少千克油？ 4、有甲、乙两个车间，如果从甲车间调3人到乙车间，则两车间的人数相等。如果从乙车间调19人到甲车间，则甲车间的人数是乙车间的3倍。问：甲、乙两车间原来各有多少人？ 5、甲、乙、丙三人加工服装，甲加工的服装比乙多72件，丙加工的服装比甲多34件，丙加工的服装是乙的2倍。问：甲、乙、丙分别加工服装多少件？ 第四十七讲 和差问题（一） 【专题精析】 姐妹两合做纸花192朵，姐姐比妹妹多做16朵。问：姐、妹各做多少朵？这道应用题已知数两的和与差，求两数，叫做和差问题。这一讲我们来研究和差问题的解法。

【例题精讲】 果园里面有柿子和苹果共870棵，柿子树比苹果树多50棵。问：果园里的苹果树和柿子树各是多少棵？ 方法小结：
【基础练习】 1、三（2）班有学生48人，男生比女生多6人。问：三（2）班男、女生各多少人？ 2、两个数的和是23，其中一个加数比另一个加数多7。问：这两个数各是多少？ 3、两筐水果共重176千克，第一筐比第二筐多12千克。问：两筐水果各重多少千克？ 【拓展提高】 1、甲、乙两数的平均数是133，甲数比乙数少26。问：甲、乙两数分别是多少？ 2、两个水桶共盛水98千克，如果把第一桶的水倒出8千克，两个水桶的水酒一样多。问：第一桶原盛水多少千克？ 3、一个两位数，十位数字与个位数字的和是13，十位数字比个位数字多3，求这个两位数。

4、甲、乙两个班共有学生102人，如果从甲班调出3人到乙班，两班学生一样多。问：甲、乙两班原各有学生多少人？ 5、小羽和小豪共有邮票120张，如果小豪给小羽24张，那么小豪还比小羽多2张。问：小羽和小豪原各有多少张邮票？ 第四十八讲 和差问题（二） 【专题精析】 复杂的和差问题，没有明显的和或差，需要通过分析，才能演算出结果；
也有些问题中会出现三个量的和与差。那有该如何求解呢？ 【例题精讲】 学校艺术节两个舞蹈队共52人排练节目，如果从甲队调10人到乙队，甲队就比乙队少4人。问：甲、乙两队原来各有多少人？ 方法小结：
【基础练习】 1、师傅和徒弟一起加工一批零件，两人合干2小时工加工零件180个，如果分别加工6小时，师傅就比徒弟多加工零件48个。问：师傅和徒弟每小时各加工多少个零件？ 2、两个加数只和比一个加数大43，比另一个加数大34，求这两个数的和与差。

3、吴老师买回90个球，其中篮球比足球多14个，足球比排球多8个。问：吴老师买篮球、足球、排球个多少个？ 【拓展练习】 1、两堆水果糖相差94粒，如果将两堆混合在一起，可以重新分成数量都是84粒的三堆。问：原来两堆水果糖各是多少粒？ 2、兄妹两人共有91本书，兄送给妹7本书，妹自己又买了4本，现在兄比妹少3本书。问：兄妹两人原各是多少本？ 3、期末考试中，小羽数学成绩比语文成绩多9分，比英语成绩少5分，已知语文、英语两门总分是186分。问：小羽数学、语文、英语分别考了多少分？ 4、甲、乙两个打字员，合打一份稿件，平均每人每小时打17页，6小时可完成。当两人打完稿件时，乙比甲多打了12页。问：这份稿件甲、乙各打了多少页？ 5、有三桶饮料共重120千克，从甲桶倒出16千克给乙桶，从乙桶倒出18千克个丙桶，从丙桶倒出5千克个甲桶，这时三通饮料的重量正好相等。问：原来三桶饮料各重多少千克？ 第四十九讲 逆推问题 【专题精析】 数学上有些问题顺着题目条件的叙述寻找解题方法往往会有一定的困难，但按照题目叙述的最后结果，由后往前推算反而比较简单。这种倒着推的思考方法，在数学上叫逆推法。

【例题精讲】 有一个数加上13以后，得到的乘再乘以8，所得的积减去28，再将差除以4，最后得到43。问：这个数是多少？ 方法小结：
【拓展提高】 1、一个数加上5，乘以6，再减去9，等于27，求该数。

2、一段花布，第一次用去3米，第二次用去剩下的一半后剩下6米。问：这段花布原来长多少米？ 3、一个数先减去12，再将差扩大12倍，再加上12，再将结果缩小12倍，最后结果是25，求该数。

【基础练习】 1、小乌龟看小山羊胡子一大把，问小山羊：“你今年多大岁数了？”小山羊摸摸胡子，笑着说：“把我的年龄加上100，再乘以100，再减去100，再除以100，结果比100多1。”小乌龟吃惊地说：“原来你比我还小3岁！”问：小乌龟今年多少岁呢？ 2、小芳去超市购物，她先用去所带钱的一半多8元，又用去剩下钱的一半少8元，这时还剩下20元。问：小芳去超市带了多少钱？ 3、王婆婆卖鸡蛋，第一次卖出篮子里鸡蛋的一半又一个，第二天又卖出了剩下鸡蛋的一半又一个，这时篮子里还有3个鸡蛋。问：王婆婆的篮子里原来有多少个鸡蛋？ 4、有一捆电线，第一次用去全长的一半多8米，第二次用去余下的一半少18米，第三次用去20米，最后还剩下19米。问：这捆电线原来有多少米？ 5、甲、乙、丙三个笼子共养兔子90只，如果从甲笼子里面取出15放入乙笼子里面，从乙笼子里面取出20只放入丙笼子里面，从丙笼子里面取出17只放入甲笼子里面，这时3个笼子一样多。问：甲、乙、丙笼子原各有多少只兔子？ 第五十讲 行程问题 【专题精析】 人们生活中“行”的问题也是至关重要的。“行”的问题有三个基本量：路程（行的远近），速度（行的快慢），时间（行的时间长短）。涉及路程、速度、时间的典型应用题叫做行程问题。行程问题数量关系是：路程÷速度＝时间。

【例题精讲】 乙两辆客车同时从东城开往西城，甲客车每小时行60千米，4小 时到达西城，乙客车比甲客车迟1小时到达。问：乙客车的速度是多少？如果要使乙客车比甲客车提前一小时到达西城，那么乙客车的速度是多少？ 方法小结：
【拓展提高】 1、小豪骑自行车去郊外外婆家，他每小时行15千米，原计划4个小时可到达，可路上因各种原因耽误了，结果迟了1小时才到外婆家。问：小豪骑自行车的速度实际是多少？ 2、小羽以每分钟60米的速度从家里步行去学校，出发3分钟后，发现练习本丢在家中，立即返回家中去取，然后又赶往学校，这样一来共用了14分钟才到学校。小羽的家离学校多少米？ 3、小豪和哥哥从家里出发，小豪去离家500米的学校，哥哥去比学校远280米的图书馆，小豪每分钟走50米，哥哥每分钟走60米。问：小豪到学校后，哥哥还要走几分钟才能到图书馆？ 【基础练习】 1、一辆货车从甲城开往乙城每小时行50千米，预计6小时到达，行了一半路程，货车发生故障，花了1小时进行修理。如果仍要求在预定时间到达，那么余下的路程货车每小时应行多少千米？ 2、小羽每天上学坐公交车，放学回家步行，共用80分钟。如果小羽往返都做公交车要40分钟，那么小羽上学往返都步行要多少时间？ 3、丁丁和东东同时同地背向而行，丁丁每秒钟行3米，东东每秒钟行2米。当东东行了1500米时，这时两人相距多少米？ 4、一辆货车从甲地进过乙地到丙地，从甲地到乙地每小时行40千米，共行了280千米，从乙地到丙地每小时提速5千米，到达丙地时一共行了12小时。求甲地到丙地的距离。

5、甲、乙两车从某日上午7:00整由南京出发到外地，甲车每小时行60千米，10小时到达目的地，乙地每小时行50千米。如果要上乙车与甲车同时到达，那么乙车要几时出发？ 第五十一讲 归一问题 【专题精析】 买2千克苹果要12元，那么买5千克苹果要多少钱？解这一类应用题归结为求一个单位量，即“苹果的单价”。解题时，必须先求出单位量，以这个单位量为标准，再依据有关条件来求出结果。

【例题精讲】 织布厂要织布7200米，3台织布机8小时织布576米，那么照这样的速度，12台同样的织布机，再织布几小时就能完成 方法小结：
【基础练习】 1、小悦在超市买硬壳练习本4本共付12元，那么要为同学代买24本同样的练习本要付多少元？如果小悦带了135元，那么可以买这样的练习本多少本？ 2、3只小鸭5天要喂饲料4500克，那么现有饲料84千克，可供 只小鸭吃14天？ 3、小悦读一本290页的课外书，7天读了98页，如果以后每天多读2页，那么小悦还要读多少天才能将该书读完？ 【拓展提高】 1、服装厂要加工校服3040套，20位工人6天加工480套，为了尽快完成任务，现增加12名工人。问：余下的任务，这批工人还需要几天才能全部完成？ 2、乌龟3分钟爬行18米，照这样的速度，它1小时爬行多少米？如果乌龟和兔子比赛跑1200，那乌龟要爬行多少时间？ 3、工艺厂工人扎灯笼，14为工人，3小时可以扎84个灯笼。节日前夕接到一批扎960个灯笼的任务，要在24小时内完成，那么要增加几名工人？ 4、2名电脑录用人员，4小时录完文稿96页，现在增加1名录入人员。问：还需要多少小时才能录完480页文稿？ 5、学校体育馆买了篮球25个和足球若干个共用去2475元，其中篮球的钱是足球的2倍，已知每个篮球比每个足球贵11元，学校体育馆一共买了多少个足球？ 第五十二讲 巧求周长 【专题精析】 用公式求正方形和长方形的周长已被同学们掌握，而对于一些不规则或者比较复杂的几何图形，我们可通过平移、转化或剪切、移拼等手段将它们变成有规律图形，再求出它的周长。

【例题精讲】 如图：是是一个楼梯的侧面，共13级台阶，每个台阶宽25厘米，高18厘米。问：从地面走到最上一级台阶，离地面 是多少厘米？这个楼梯侧面周长是多少厘米？ 方法小结：
【基础练习】 1、求下面图形的周长。

2、比较三幅图中A，B两部分的周长，哪个周长更长一些？ 3、图中是一个机器零件的平面图，求这个零件的周长。

【基础练习】 1、求下图周长。

2、在一块长150厘米，宽110厘米的硬纸板上剪去一个边长为70厘米的正方形，求剩下图形的周长。

3、下图是一个零件的平面图，图中每条最短的线段都是8厘米，零件厂72厘米，高48厘米。问：这个零件的周长是多少厘米？ 4、用一根彩带盘成回纹式图案（如图），已知两平面之间的距离都是2厘米。问：这根彩带的总长度是多少？ 5、求下列图形的周长。

第五十三讲 长方形和正方形的周长 【专题精析】 正方形的周长＝边长×4，长方形的周长＝（长＋宽）×2，这两个计算公式看起来非常简便，用途却十分广泛。

【例题精讲】 4张同样的长方形纸片恰好可拼成一个正方形，正方形的周长是64厘米。问：每张长方形纸片的周长是多少？ 方法小结：
【基础训练】 1、把4个边长是3厘米的正方形拼成一个大的长方形。问：大长方形的周长是多少厘米？ 2、3张同样的长方形纸片恰好可以拼成一个周长为36厘米的正方形。问：每张长方形纸片的周长是多少厘米？ 3、把两个长60厘米，宽20厘米的长方形拼成一个大的长方形。问：大长方形的周长比原来两个小长方形的周长和少了多少厘米？ 【拓展提高】 1、把9个边长为2厘米的小正方形拼成下图。问：图中所有正方形的周长和是多少？ 2、把一个边长为20厘米的正方形，剪成6个完全一样的小长方形（如图）。问：这6个小长方形的周长的和比原来正方形的周长增加了多少厘米？ 3、 如图，由10个完全一样的长方形拼成一个大的正方形，已知小长方形的长是8厘米。问：拼成的大长方形的周长是多少厘米？ 4、把一张正方形纸片平均分成9个小正方形。已知中间小正方形的周长是4厘米。求大正方形纸片的周长。

5、一张长为32厘米、宽为17厘米的长方形纸，先剪下一个最大的正方形，再从余下的纸片中，又剪去一个最大的正方形。问：最后余下的长方形的周长是多少？ 第五十四讲 长方形和正方形的面积 【专题精析】 一个平面图形的大小叫做它的面积。长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长。面积单位之间的进率为1平方米＝100平方分米＝10000平方厘米。

【例题精讲】 已知图中大正方形ABCD的面积比小正方形AFGE的面积多216平方厘米。问：大、小正方形的面积各是多少平方厘米？ 方法小结：
【基础练习】 1、如图，是一个长为8厘米，宽5厘米的长方形，从中间剪去一个边长为5厘米的正方形。问：剩下部分的面积是多少平方厘米？ 2、求下图的面积（用多种方法） 【拓展提高】 1、求阴影部分的面积。

2、如图正方形鱼池，四周是3米宽的路，路的面积共60平方米。问：这个鱼池占地面积是多少平方米？ 3、计算下面阴影部分的面积。（o是小正方形的中心点） 4、（1）已知长方形的长为18厘米，如果长方形的宽增加6厘米，等到的长方形面积为原来的3倍，那么原长方形的面积是多少平方厘米？ （2）一个长方形由一根长120厘米的铁丝围成，已知长方形的长比宽多12厘米，那么围成的长方形面积是多少平方厘米？ 5、一个长方形被2条直线分成4部分，其中三个长方形的面积分别是80平方厘米，20平方厘米和50平方厘米。问：图中阴影部分面积是多少平方厘米？ 第五十五讲 年龄问题（一） 【专题精析】 年龄问题是日常生活中涉及有关年龄的应用。年龄问题通常是已知两个或若干人的年龄或他们年龄之间的某种数量关系，求另一个人的年龄。

【例题精讲】 已知小妹和妈妈的年龄和是48岁，6年后妈妈的年龄是小妹年龄的3倍。问：小妹今年多少岁？ 方法小结：
【基础练习】 1、爸爸今年的年龄是儿子的4倍，比儿子打27岁。问：父子两人今年各多少岁？ 2、小羽和外婆今年的年龄和是90岁，外婆的年龄是小羽的4倍。问：小羽和外婆今年各多少岁？ 3、父子俩今年年龄和为42岁，5年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍。问：父子两人今年各多少岁？ 【基础练习】 1、小豪今年13岁，妈妈今年39岁，当两人的年龄之和为80岁时，小豪和妈妈各多少岁？ 2、今年小宝8岁，爸爸38岁。问：几年后爸爸的年龄正好是小宝的3倍？ 3、小悦和陈老师今年的年龄和是35岁，再过5年，陈老师的年龄正好是小悦年龄的4倍。问：小悦和陈老师今年各多少岁？ 4、母子两人今年的年龄和是40岁，儿子年龄的5倍比母亲大2岁。问：母子两人5年后各是多少岁？ 5、叔叔8年前的年龄等于小于7年后的年龄，小于2年前和叔叔3年后的年龄和是34岁。问：叔叔和小于今年各是多少岁？ 第五十六讲 年龄问题（二） 【专题精析】 年龄问题是一个既有趣有复杂的问题，两人的年龄差保持不变；
两人的年龄随时间年份变化而增减同一个自然数，两人年龄的倍数关系随年龄的改变而改变，年龄增大，倍数变小。

【例题精讲】 外婆和妈妈今年的年龄和是90岁，外婆的年龄是妈妈年龄的2倍好小3岁。问：外婆和妈妈今年各多少岁？ 方法小结：
【基础练习】 1、妈妈今年38岁，小君今年8岁。问：几年前妈妈的年龄是小君的6倍？几年后妈妈的年龄是小君的2倍？ 2、姥姥5年前的年龄是小琪年龄的8倍，今年小琪和姥姥年龄和是91岁。问：姥姥今年多少岁？ 3、父子两人今年的年龄和是52岁，父亲的年龄比儿子年龄的5倍还小2岁。问：父子两人今年各多少岁？ 【拓展提高】 1、4年前父亲的年龄是儿子的4倍，8年后父子的年龄和是79岁。问：今年父子两人各多岁？ 2、姐妹两人今年的年龄之和是24岁，3年前，妹妹的年龄等于姐妹两人年龄之差。问：姐妹两人今年各多少岁？ 3、小妹一家三口年龄之和是100岁，爸爸比妈妈大2岁，妈妈年龄是小妹年龄的3倍。问：小妹一家三口年龄各有多少岁？ 4、新来的王老师，对小刚说：“我5年前的年龄正好是你8年后年龄，当我的年龄正好是你年龄的2倍时，我有多大岁数？”小刚应如何回答。

5、甲、乙两人今年的年龄和是84岁，当甲像乙现在这么大时，甲的年龄是乙的5倍。问：甲、乙两人今年各多少岁 第五十七讲 定义新运算 【专题精析】 除了加、减、乘、除四则运算外，数学中根据需要有时可以定义一些新的运算方法进行计算，这被称为“定义新运算”。通常是用某些特殊符号表示特定的运算定义，如规定a△b＝2×a－1×b，则3△4＝2×3－1×4＝2。

【例题精讲】 （1）定义一种新运算“△”，规定a△b＝9a－7b。求10△9,9△10的值。

（2）定义一种新运算“○”，规定a○b＝a×b＋a－b，求（3○4）○ 2，3○（4○2）的值。

方法小结：
【基础练习】 1、定义一种新运算“△”，规定a△b＝a×a－2×b。求：（1）5△6；
（2）7△3。

2、定义一种新运算“☆”，规定a☆b＝a×b－a＋b。求：（1）7☆8；
（2）13☆17。

3、定义一种新运算“＊”，规定a＊b＝（a－b）÷2×3。求：（1）12＊10；
（2）18＊14。

【拓展练习】 1、定义一种新运算“△”，规定a△b＝（a×b）－（a＋b）。求：（1）6△（7△8）；
（2）4△（5△6）。

2、定义一种新运算“□”，规定x＊y＝（x＋y）÷3。求：（1）28△17；
（2）17△（5△7）。

3、定义一种新运算“#”，规定a # b＝2a×b＋3b。求：（1）（4#2）#3；
（2）（7#8）#5。

4、定义两种新运算“＊”，“☆”规定a＊b＝3a＋8b，a☆b＝4×a×b。求：（1）（5☆7）＊6；
（2）（13＊10）☆4。

5、定义一种新运算“¤”，规定a¤b＝3a＋5b。如果a¤13＝101，求a。

第五十八讲 最大和最小 【专题精析】 我们知道两个数比较大小，位数多的，那个数一定大。如最小的三位数比最大的两位数大。如果两个数都是三位数，先看百位上的数，百位上数大的就大；
百位上相同就看十位上的数，十位上大的就大；
如果十位上的数也相同，就看个位数的大小了。

这一讲接触到的某种量，在一定范围内求最大数与最小数的问题并不是通过简单比较得出，而要寻找不同方法。

【例题精讲】 把2,3,4,5,6,7,8,9这8个数字填入下面算式，使所得的差最大，并且回答这个最大的差是多少？ □□×□□－□□□ 方法小结：
【拓展提高】 1、由2,5,8,9,0这5个数字组成的最大五位数和最小五位数各是几？差是多少？ 2、两个整数相加得和是17，那么这两个整数分别是多少时，它们的积最大？ 3、把1,2,3,4,5,6,7,8这8个数填入下面算式，使所得差最大，并回答这个最大的差是多少？ □□×□□－□□□□ 【基础练习】 1、把1~6这6个数字填入下面的算是中，使乘积最大，并回答这个最大的乘积是多少？ □□□×□□□ 2、在□÷23＝3……□中，（1）被除数、余数最大可以填几？（2）被除数、余数最小可以填几？ 3、在多位数中564718095231中划去6个数字（先后顺序不变）组成的六位数：（1）最大；
（2）最小。问：它们分别是多少？ 4、水果店为了能用天枰称出1千克到50千克的水果的重量，并且限定只能在一个盘子上放砝码，另一个盘子放水果。请你设计一下最少需配多少个不同的砝码？并回答它们的重量分别是多少？ 5、公园菊花展有一批花盆（300盆以内）。如果按照每排19盆来放，还余4盆；
如果按照每排13盆来放，还余3盆。问：这批菊花最少有多少盆？最多有多少盆？