2019河南省实验中学高一期中 [2019-2020学年市实验中学高一上学期11月月考数学试题（解析版）]

2019-2020学年市实验中学高一上学期11月月考数学试题 一、单选题 1．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据函数解析式，写出自变量满足的条件，即可求解. 【详解】 要使函数有意义，则，解得且， 所以函数定义域为. 故选：A 【点睛】 本题主要考查了给出解析式的函数的定义域，属于中档题. 2．函数在上的最小值为（ ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】根据函数解析式可知函数的单调性，利用单调性求最小值. 【详解】 因为函数， 所以函数在上是减函数， 所以当时，. 故选：C 【点睛】 本题主要考查了利用函数的单调性求函数的最值，属于中档题. 3．若且为第三象限角，则的值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据同角三角函数的基本关系及角所在的象限，即可求解. 【详解】 因为且为第三象限角， 所以， 则. 故选：C 【点睛】 本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，属于中档题. 4．设集合，若A为空集，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分两种情况分类讨论，时符合题意，时只需满足 即可求解. 【详解】 当时，原不等式为，A为空集；

当时，因为A为空集 所以无解， 只需满足， 解得， 综上实数的取值范围是. 故选：D 【点睛】 本题主要考查了一元二次不等式的解为空集，分类讨论的思想，属于中档题. 5．已知奇函数在上是增函数，若则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据函数为奇函数，只需比较，利用对数性质及指数性质比较，，即可求解. 【详解】 因为函数为奇函数， 所以， 因为， 且函数在上是增函数， 所以， 故选：B 【点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性，单调性，对数函数、指数函数的性质，属于中档题. 6．已知，则（ ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【解析】将自变量代入函数解析式，利用对数的运算化简求值即可. 【详解】 . 故选：D 【点睛】 本题主要考查了对数函数的运算、性质，属于中档题. 7．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可. 【详解】 设g（x）＝x2﹣ax+1， 则要使f（x）＝ln（x2﹣ax+1）在区间（2，+∞）上单调递增， 由复合函数单调性可得：
满足，即， 得a， 即实数a的取值范围是， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查复合函数单调性的应用，结合二次函数的单调性是解决本题的关键，注意真数大于0的条件的应用，属于易错题型.． 8．已知恒为正数，则取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分两种情况分类讨论，根据对数函数的性质即可求解. 【详解】 当时，是减函数，， 则，解得；

当时，是增函数，， 则，解得，又，所以；

综上取值范围是. 故选：A 【点睛】 本题主要考查了对数函数的性质、利用单调性解不等式，分类讨论，属于中档题. 9．化简得 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用求出，第一个根号分子分母同时乘以，第二个根号分子分母同时乘以，结合平方关系即可得到。

【详解】 故选A 【点睛】 本题主要考查了同角三角函数的基本关系，属于中档题。

10．在平面直角坐标系中，集合设集合中所有点的横坐标之积为，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用指数函数与对数函数的图象可知，图象有两交点，设两交点，，根据指数函数、对数函数性质可知，即可得到，进而求出. 【详解】 作出函数与图象：
设与图象交于不同的两点，设为，，不妨设，则， 在R上递减， ，即， ， 即， 故选：B 【点睛】 本题主要考查了指数函数，对数函数的图象与性质、对数的运算，数形结合，属于中档题. 11．若对于定义在上的函数，其图象是连续不断的，且存在常数使得对任意实数都成立，则称是一个“特征函数”．下列结论中正确的个数为（　　） ①是常数函数中唯一的“特征函数”；

②不是“特征函数”；

③“特征函数”至少有一个零点；

④是一个“特征函数”． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】利用新定义“特征函数”，对选项逐个进行判定，即可求解，得到答案． 【详解】 对于①中，设，当时，函数是一个“特征函数”， 所以不是唯一的一个常值的“特征函数”，所以①不正确；

对于②中，函数， 则，即， 当时，， 当时，方程由唯一的解， 所以不存在常数使得对任意实数都成立， 所以函数不是“特征函数”，所以②正确． 对于③中，令，可得，所以， 若，显然有实数根，若，， 又因为的函数图象是连续的，所以在上必由实数根， 因此任意的“特征函数”必有实根，即任意“特征函数”至少有一个零点， 所以③是正确；

对于④中，假设是一个“特征函数”，则对任意的实数成立， 则有，而此式有解，所以是“特征函数”，所以④正确的， 所以正确命题共有②③④． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了函数的基本概念及其应用，其中解答中熟记函数的零点，以及正确理解“特征函数”，合理判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题． 二、填空题 12．已知函数则______． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【详解】 ,选D. 13．已知幂函数的图像过点，则________ 【答案】9 【解析】将点的坐标代入函数解析式即可求出，利用函数解析式即可求值. 【详解】 因为幂函数的图像过点， 所以，解得， 故， 所以. 故答案为：9 【点睛】 本题主要考查了求幂函数的解析式、利用解析式求函数值，属于中档题. 14．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为__________． 【答案】 【解析】设扇形的半径为，由题意可得：， 据此可得这个扇形中心角的弧度数为. 15．20世纪30年代，里克特（C.F.Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为其中，A是被测量地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际的距离造成的偏差），众所周知，5级地震已经比较明显，计算8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的______倍. 【答案】1000 【解析】先根据求得地震最大振幅关于M的函数，将震级代入分别求出最大振幅，最后求出两次地震的最大振幅之比即可. 【详解】 由可得，即， 当时，地震的最大振幅为；
当时，地震的最大振幅为；

所以，两次地震的最大振幅之比是：，即8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍. 故答案为：1000 【点睛】 本题主要考查了对数函数的应用，以及对数的运算，属于中档题. 16．已知函数满足，函数，且与的图像的交点为，则 【答案】40 【解析】由知函数图象关于成中心对称，，图象关于点成中心对称，故交点关于成中心对称，即可求解. 【详解】 因为函数满足， 所以函数图象关于成中心对称， 又， 所以的图象也关于成中心对称， 因此与的图像的交点为关于成中心对称， 所以 故答案为：40 【点睛】 本题主要考查了函数图象的对称性及应用，求代数式的和，考查了运算能力，属于中档题. 三、解答题 17．（1）计算；

（2）已知，求的值. 【答案】（1）0（2）3 【解析】（1）根据终边相同的角同名三角函数值相等化简求值即可（2）先根据诱导公式化简，再利用同角三角函数间的关系化为正切即可. 【详解】 （1） （2） . 【点睛】 本题主要考查了三角函数的诱导公式，同名三角函数的基本关系，属于中档题. 18．设 （1）求 （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）化简集合，根据集合的交集运算即可求解（2）由可知，结合数轴求解即可. 【详解】 （1）由解得，故， 因为，所以，即, 所以. （2） 因为， 所以， 故. 【点睛】 本题主要考查了集合的交集，并集，子集，涉及一元二次不等式及绝对值不等式，属于中档题. 19．已知幂函数 (1)求的解析式；

(2)(i)若图像不经过坐标原点，直接写出函数的单调区间. (ii)若图像经过坐标原点，解不等式. 【答案】（1）或（2）(i) 单调递减区间为，无单调递增区间 (ii) . 【解析】（1）根据幂函数可得，求出m即可（2）(i)根据图象不过原点确定函数解析式，写出单调区间即可(ii)根据图象过原点确定函数解析式，利用函数单调性解不等式. 【详解】 （1） 因为幂函数， 所以，解得或， 所以函数为或. （2）(i)因为图像不经过坐标原点， 所以， 函数的单调递减区间为，无单调递增区间. (ii)因为图像经过坐标原点， 所以， 因为为偶函数，且在上为增函数， 所以， 又在上为增函数， 所以， 解得， 所以不等式的解为. 【点睛】 本题主要考查了幂函数的定义，奇偶性，单调性，属于中档题. 20．已知函数其反函数为 (1)求证：对任意都有，对任意都有 (2)令，讨论的定义域并判断其单调性（无需证明）. (3)当时，求函数的值域；

【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3） 【解析】（1）写出其反函数为，根据解析式即可证明（2）写出，分类讨论，写出定义域及单调性即可（3）写出，利用换元法求其值域即可. 【详解】 （1）证明：因为， 所以对任意都有. 因为其反函数为， 当时， ， 所以对任意都有. （2）因为， 所以， 当时，解得，且函数在上为增函数 当时，解得，且函数在上为增函数 所以时函数定义域为，函数在上为增函数；
当时函数定义域为，函数在上为增函数. （3）当时， , 令， 则 因为对称轴为， 所以当时，，当时，， 故函数的值域为. 【点睛】 本题主要考查了指数函数对数函数的性质及运算，换元法，二次函数求值域，属于中档题. 21．已知函数是定义在上的奇函数；

(1)求实数的值. (2)试判断函数的单调性的定义证明；

(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1（2）减函数，证明见解析（3） 【解析】（1）根据题意由函数为定义在上的奇函数知，代入计算即可（2）首先对解析式变形，用作差法判断函数单调性即可（3）根据函数的奇偶性，单调性可得恒成立，只需求函数的最小值即可. 【详解】 （1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，经检验符合题意. （2）由（1）知 函数为R上的减函数，证明如下；

设， 则 因为，， 故， 则是R上的减函数. （3）因为为奇函数， 所以 又是R上的减函数， 所以恒成立， 令， 因为， 所以， 当时，， 所以时，不等式恒成立. 故实数的取值范围.. 【点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性，单调性及证明，二次不等式恒成立，属于难题. 22．已知二次函数满足①对于任意，都有；
②；
③的图像与轴的两个交点之间的距离为4. （1）求的解析式；

（2）记 ①若为单调函数，求的取值范围；

②记的最小值为，讨论函数零点的个数. 【答案】（1）（2）①或②详见解析 【解析】（1）根据条件可知二次函数对称轴，的图像与轴的两个交点之间的距离为4可求出交点，利用交点式求函数解析式（2）①写出二次函数，根据对称轴与区间关系可求出的取值范围②分类讨论求出函数的最小值，换元后作出函数图象，再利用数形结合研究函数的零点，注意分类讨论思想在解题中的应用. 【详解】 （1）因为二次函数中， 所以对称轴， 又的图像与轴的两个交点之间的距离为4， 所以与轴交点为 设， 又， 所以 即. （2）① , 对称轴为， 因为为单调函数， 所以或 解得或. 故的取值范围是或. ②, 对称轴为， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时， 综上 函数零点即为方程的根， 令，即的根， 作出的简图如图所示：
（i）当时，，或， 解得或，有3个零点. （ii）当时，有唯一解，解得，有2个零点. （iii）当时，有两个不同的解， 解得或，有4个零点. （iv）当时，，，解得，有2个零点. （v）当时，无解，无零点. 综上：当时，无零点；

当时，4个零点；

当时，有3个零点；

当或时，有2个零点. 【点睛】 本题主要考查了二次函数的解析式，单调性，最值，函数的零点，涉及分类讨论思想及数形结合，属于难题.