化归中的数形结合思想

“化归”是转化和归结,它是人们在解决数学问题时,常常将待解决的问题A,通过某种转化手段,归结为另一个问题B,而问题B是相对较易解决或已有固定解决模式的问题。且通过对问题B的解决可得到原问题A的解决。而数形结合就是通过实现数量关系与图形性质的相互转化,使抽象思维和形象思维相互作用,将抽象的数量关系和直观的图形结合起来思考研究数学问题。数形结合是一种极具数学特点的信息转换,一方面用数量的抽象性质来说明形象的事实;另一方面又用图象的性质说明数量的抽象性质。因此,数形结合是一类极为重要的转化,其着眼点放在代数与几何的沟通上。

一、从数到形,以形论数

初等代数研究的是数字和文字的代数运算(加法、减法、乘法、除法、乘方、开方)的理论和方法,因此,具有高度的计算性。所以,无论是概念,还是法则、定律,都是很抽象的,有时运算会是很烦琐。在思考和解决数学问题时,对于某些从表面上看来与图形不相关的概念和问题,有时可从某种特定的角度,画一个图形、图象或者示意图,对所讨论的问题给予几何直观地描述,往往会对问题的求解提供许多有益的启示。借助图形常常可以把问题中的数量关系揭示得直观形象,“图”可以帮助思考,把抽象的东西变得直观,从而使对概念的理解,使解题思路变得简单明了,巧妙快捷。

二、从形到数,以数论形

中学数学的几何内容是图文并茂的内容,它把逻辑思维和形象思维有机地结合起来,几何直观对于人们学习抽象的数学起到了十分重要的作用。但是,在研究问题时,经常需要通过分析图形中的有关数量关系,探讨图形的结构和性质。通过建立坐标系,化几何问题为代数问题,这种方法有规范的步骤,较容易掌握,某些几何问题,利用解析几何方法解决较为简捷。这种方法就是“从形到数,以数论形”的方法。

三、数形结合,互相转化,互相补充

从数到形、以形论数和从形到数、以数论形是数形结合的两个重要方面。在思考和解决问题的过程中,上述两个方面往往不能截然分开。尤其是一些较为复杂的问题,需要两个方面的互相转化,相互利用。问题的某些数量特征往往能给人们有关构建图形的提示;反过来,利用图形的结构特征又能够帮助人们找到解决问题的思路。

在思考和解决数学问题时,不仅要学会用“形”的结构和特征去理解“数”的特征,也要学会用“数”的特征去理解“形”的结构和特征。而不是只强调一个方面,而忽视另一个方面。

参考文献:

1.G·波利亚(美).《数学发现》.台湾九章出版社,1995

2.沈文选,胡清桃.《数学思想领悟》.哈尔滨工业大学出版社,2008

3.钱佩玲.《数学思想方法与中学数学》.北京师范大学出版社,2008

作者单位:高安市石脑二中