陈省身“做好的数学”思想在高职数学教学中的应用

[摘 要]“做好的数学”是著名数学大师陈省身思考和研究数学的发端和终端，主要包含 “数学好玩”、“易懂难攻”、“定会有应用”和“简单而美丽”等重要方面。教师在高职数学教学中运用“做好的数学”的思想，提高学生学习兴趣，创新课堂教学模式，增强应用数学意识，享受美的数学，对拓宽高职数学课程建设思路、提高数学教学质量有着非常重要的指导作用。

[关键词]陈省身；好的数学；高职数学

[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2017）10-0088-03

陈省身作为继黎曼、嘉当之后的数学大师，对全人类的数学贡献有目共睹。先生培养了丘成桐、吴文俊等一大批杰出的数学人才，其数学教育思想非常值得我们研究。

对于数学教育，陈省身最为强调的是“做好的数学”。“做好的数学”是先生数学教育思想的核心所在。此语出于简明而归于深奥，表述有趣而内涵丰富，是陈省身研究数学、开展数学教育的发端和终端，贯穿了陈省身70多年数学人生的全过程。1992年，陈省身在庆祝中国自然科学基金会成立十周年的学术讨论会上说：“一个数学家应当了解什么是好的数学，什么是不好的数学或不太好的数学。有些数学是有开创性的，有发展前途的，这就是好的数学。”先生认为，“好的数学可以不断深入，有深远意义，能够影响许多学科。比如说，解方程就是好的数学，搞数学都要解方程。……这一类的数学是不断发展的，有永恒价值，所以是好的。”先生多次指出，中国只有“做好的数学”，才能在国际数学界取得“独立平等”的地位，才会有自己的特色，才能成为“数学大国”。陈省身“做好的数学”思想，对拓宽高职数学课程建设思路、实施数学教学改革、提高数学教学质量都有着非常重要的指导作用。

一、“做好的数学”思想内涵

（一）“数学好玩”

先生在晚年的时候，曾给孩子们题字“数学好玩”。好玩应该是一种特别的热爱。陈省身先生每天都要做数学和研究数学，每天他总是轻松地说“做得很有意思”。他很少有抱头苦思的时候，对学问有一颗赤子之心。先生特别执着于乐在其中的数学，这是他70年来专注于微分几何研究的主要动力。陈省身说，如果“把事情看得太严重，太有功利性，就不好玩了”，“好玩就是不怎么要紧”。入之愈深，见之愈奇，研究越深入就越是热爱。因此在教学中，当学生觉得“数学好玩”时，便会真正地投入，会自觉地选择数学、钻研数学和热爱数学，从而为“做好的数学”打下基础。“数学好玩”就是把数学学习恢复到最简单的状态——像玩一样地学习，对数学真正有兴趣，这为数学教育指明了方向。

（二）“易懂难攻”

数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，所以，数学探究的抽象程度相对其他学科更高一些。例如，数学模型就是运用数理逻辑方法和数学语言建构的科学或工程模型，它是一种符号化和形式化的模型。数学的抽象性等特点常常让一些学生感到学习困难。先生曾引用18世纪法国大数学家拉格朗日（Lagrange，1736-1813）的标准，认为“好的数学”就是要具有抽象性和思辨性。“好的数学”应该满足两个条件：第一是“易懂”，这类数学问题能够向任何人讲清楚；第二是“难攻”，这类数学问题一定是相当困难的，却又不是无法攻克和研究的。“易懂”的数学问题，说明这个问题具有普遍性，是很基本的；“难攻”的数学问题，说明比较深入，不是一眼就可以看穿的。比如费尔马定理要证明“没有正整数解”，题目非常容易懂，能着手工作，但很难证明，那么多数学家三百多年后才得以证出。所以，“好的数学”易懂难攻，吓退了许多人，但也有不少人能够接受挑战迎难而上，最后成为数学大家。

（三）“定会有应用”

“应用”是陈省身先生“做好的数学”的主旨大意。陈省身多次说过：“我们搞数学的人相信，假使数学是好的，一定会有应用。”虽然他在研究微分几何的过程中从来都不刻意追求应用，但他始终认为“好的数学”“定会有应用”。他觉得数学得到的结论是很有效的，这样的结论应用范围非常大，在自然科学的各个方面都很有应用。人们最初，可能用几个数或画几个图就得到了一些结论，而由此引起的应用和发展常常超出我们的想象范围。先生认为，应用在发展的过程中，不仅在数学上是最重要，而且在整个人类文化史上也是非常突出的。如先生的整体微分几何学研究的“纤维丛理论”，就是物理学“规范场理论”的数学基础，这就是一个很好的范例。再如，20世纪90年代，物理学家威腾将陈省身和西蒙斯在1974年提出的几何不变量用于物理学研究，最终成为理论物理研究的前沿方向，并成为物理学界的一个常用工具。在社会生活的各个领域，“好的数学”同样发挥着关键作用，其应用价值越来越突出。

（四）“简单而美丽”

数学的发展建立于社会的各种需求，数学是理性的抽象思维和想象的结合，所以就有了数学美。“好的数学”简单而美丽，是一种至美。只有简单，才能专一，做学问才会不过多分心。陈省身说：“数学是一种奇妙有力、不可缺少的科学工具，能把奥妙变为常识、复杂变为简单。简单既是思想，也是目的。”其实人生也一样，成功者的内心必定簡单，这也是先生常说的话。数学的美是一种蕴涵的美，它需要从深处去挖掘和欣赏。如欧拉给出的公式：v-e+f=2，既简单又美丽，而且由这个公式可以得出很多丰富又深刻的结论，对近代数学的拓扑学与图论的发展起了很大的作用，成为拓扑学与图论的基本公式。在上下五千年的数学史中，数学的每一次进步都使已有的定理更简洁，如微分中值定理等。年轻数学大师刘克峰教授在《我们都属于陈类》文中曾这样说：“陈先生的一句话告诉我们，数学就应该是简单美丽的，就像陈类一样朴素地抓住问题的灵魂。”

二、“做好的数学”思想在高职数学教学中的应用

怎样将“做好的数学”思想应用到高职数学教学中去？除了需要教师的自身素质和教学基本功外，其实更需要先进的数学教学思想和方法的有机结合。根据高职学生的特点，笔者以为可以从以下几方面进行应用：

（一）“玩好”数学教学，提高学习兴趣

要让学生觉得“数学好玩”，教师必须把数学教学“玩好”。首先教师要热爱数学教学，积极钻研教学内容，想方设法让学生对教学内容产生浓厚兴趣，让学生觉得数学课“好玩”，数学课堂“有趣和新奇”。

传统的高职数学教学，过于强调传授微积分知识，再加上许多高职院校大幅压缩高等数学课时，内容多与课时少的矛盾凸显。这直接导致数学教师在有限的课时内只能快速地灌输式地讲授高等数学的基本概念和基本方法，学生要在这有限的课容量内掌握微积分知识的难度较大。在一些学生的眼里，数学是定理、公式的集合，数学课缺乏人情味，数学就是做题……这就需要教师引导学生体验亲身探究“好的数学”的乐趣。教师可通过结合教学内容进行课堂设计，引导学生尝试探究，体会数学家们“做好的数学”的过程。如“极限的概念”学习，可通过庄子“一尺之棰，日取其半，万世不竭”和刘徽的“割圆术”来理解极限的概念，也可通过“阿基里斯追乌龟”的故事让学生掌握求数列极限的方法。这样，不仅加深了学生对数学概念、方法的理解，更呈现了妙趣横生的课堂教学效果。

另外，在引导学生数学探究的过程中，“好”的数学问题的编拟很重要。教师要把自己置于学生之中，弄清楚他们的期望，从学生的角度、以学生最熟悉的知识点为出发点，告诉学生为什么要讨论这个问题，设计一些启发性和趣味性的问题，鼓励学生努力去解决，让学生获得成就感，体验学习数学的快乐，从而主动探求知识，产生一个良性循环。

（二）加强探究实践，创新课堂模式

好的数学“易懂难攻”。对高职学生来说，学习基础相对薄弱，学习缺乏自信心，即使非常“易懂”的数学对他们来说也是“不易懂”，许多学生对数学有畏难情绪。所以在教学中，更应注重培养学生不怕困难的数学探究精神，帮助学生坚定克服困难的毅力和勇气。可以尝试“任务引领式”的课堂教学模式。

“任务引领式”教学首先要设计好课堂教学中学生操作探究实践的活动方案，也就是让学生在课堂学习中参与讨论的方案，这是教师备课教案的组成部分。因此活动方案的设计是关键。这要求教师根据学生的学习特点和掌握知识的实际情况来设计好“任务清单”。教师所设计的任务要能层层递进地激励学生自主参加到数学学习的过程中，让学生易于思考数学、掌握数学知识。高职数学教学的课堂通常都是大班上课，学生的人数较多，在人数较多的情况下分组是不现实的，比较适宜采用“先分后合，分合有度”的任务实施模式。“先分”就是对于布置的任务先要求学生分别独立思考和解决，“后合”是指在解决问题的过程中遇到的困难可以同桌或前后桌一起商量，就近讨论，相互查漏补缺、取长补短。另外，教师可以采用抢答、书面抽查、补充解答等多种形式，对学生问题的解决方法进行各种交流。对于主动展示、思维有创新、积极补充解答的学生在评分时给予倾斜。

（三）增强应用意识，提高数学修养

生活处处有数学，好的数学是一定会有应用的。高职数学教学更需要应用。我们要多用数学的眼光去发现生活，把课堂上的数学知识延伸到实际生活中去，在教学中以实际问题为案例，结合专业，增强学生的数学应用意识。

在教材的每章、每节或每个新内容的开头或结尾，我们可以利用教材内在的应用素材，结合学生的专业、生产生活实际设计一些实际问题为案例，为学生创设数学应用的情境。例如， 学习“无穷小的概念”时教师可以在黑板上随手画一只大熊猫，请学生求它的面积；学习“导数的概念”时可以结合图片提问“如何求刘翔110米跨栏某个时间点的瞬时速度”；学习完“曲率”后，可以请学生思考：铁轨由直道转入圆弧弯道时，若接头处的曲率突然改變，容易发生事故，为了行驶平稳，往往在直道和弯道之间接入一段缓冲段，使曲率连续地由零过渡到1 / R（R为圆弧轨道的半径），通常用三次抛物线y=（1 / 6RL）x3，x？缀[0，x0]作为缓冲段OA，其中L为OA的长度，请验证“缓冲段OA在始端O的曲率为零，并且当L / R很小时，在终端A的曲率近似为1 / R”。

另外，如交通路径、彩票抽奖、水电费、贷款、通讯费、人口增长、细胞分裂、利润最大、用料最省、效率最高等问题，都是日常生活中的数学问题，要引导学生运用所学的数学知识解决实际生活中的问题，鼓励学生注意数学应用的事例，开阔视野。在解决实际问题中，学生能够深切地感受数学与现实世界的紧密联系，感受数学的应用价值，有助于培养学生良好的数学素养。

（四）融入审美教育，享受美的数学

开普勒说“数学是这个世界之美的原型”，维纳说“数学实质上是艺术的一种”。数学教育离不开美学教育，数学中的简单美是激发学生求知欲和内驱力的重要源泉。好的数学一定“简单美丽”。数学美的追求促进了数学的应用和发展。杨振宁教授在1975年读懂“陈省身-韦伊定理”时，便有了一次难忘的审美经历，他忽然间领悟到，客观的宇宙奥秘与纯粹用优美这一价值观念发展出来的数学观念竟然能完全吻合，令人感到意外。杨振宁当时感到“真的有触电的感觉”，而且“还有更深的，更触及心灵深处的地方”。

只有让学生体会到数学的美，才能让学生真正爱上数学。如果在高职数学教学中，能让学生有美妙的数学审美经历，不仅能激发出学生学习数学的热情，而且对于提高学生类比、联想、想象等特殊思维能力和创造力都能起到十分重要的作用。教师在教学中要渗透数学美的教学。比如微积分中遇到的很多常用曲线，不仅形式美，而且很多都有一段历史传奇、神奇应用和奇特背景。再比如，在学习定积分的应用时，由双曲线y=1 / x在x≥1部分绕x轴旋转所得到的旋转曲面Gabriel喇叭，可以证明这个喇叭所围成的体积是有限的，但它的表面积却是无限的。也就是说，这个喇叭可以用有限的涂料把它填满，但再多的涂料却无法将它的表面涂满，因为它的表面积是无限的，这就是数学的奇异美。

三、结语

数学具有严密的逻辑性、高度的抽象性和广泛的应用性，传统教育又往往使数学与生活实际相脱离。陈省身“做好的数学”思想具有导向性、开放性和前瞻性的特征，对数学教学具有重要的借鉴意义和深远影响。从“数学好玩”开始，做好的数学，高职数学教学一定会变得“好玩”。先生认为，“一个人一生中的时间是一个常数，应该集中精力做好一件事”；教师教数学“不能只教学生简单地记住一堆事实，或掌握一套技巧，而需要开发与学科有关的东西”；“只要有了人，有研究的精神，在哪里都能做事情”。让我们牢记先生的教诲，“做好的数学”，把高职数学教得更好。

[ 参 考 文 献 ]

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[责任编辑：刘凤华]