关于Gamma函数延拓的探究
摘 要:通过给出Gamma函数几种定义方式,分析研究它们之间的相互关系,并把余元公式推广到一般形式,对构造的公式①,在复数域将其被积函数分解得2n个复根.在实数域将其实虚部积分取极限获证.对构造的公式②,由①将其被积函数的连续性、收敛性及一致收敛性与构造的有理数列用变量替换代入取极限获证.再由①与②应用Gamma-Beta函数的另一形式及(3),得到了余元公式的实现.?更多还原
关键词:Gamma函数;延拓;积分;Euler;探究
中图分类号: G420 文献标识码:A 文章编号1672-3791(2015)09(b)-0000-00
1 问题引入
Gamma函数是数学中最重要的函数之一,在工程、经济等学科中也有重要应用.数学分析教材中引出Gamma函数延拓问题时,往往介绍的比较简单,也没有说明延拓的作用,不易理解,容易造成错误.
例如,文[1]利用积分
,得时,是错误的,因为此式在时发散,造成这种错误的原因是对Gamma函数延拓的理解有误.
2 Gamma函数的延拓Gamma函数的定义有多种形式,各有各的方便之处,数学分析教材上一般给出如下定义
利用解析延拓可以把Gamma函数延拓到整个复平面[4].有了Gamma函数的延拓,通过也可以把延拓到整个复平面,但是在为实数时,,只适合的情况,这就是文[1]中错误的原因.
参考文献
[1] 李凯,周学君.关于两类定积分的求解方法[J].太原师范学院学报(自然科学版),2008,7(4): 46-49.
[2] 华东师范大学数学系.数学分析:下册[M].北京:高等教育出版社,2010:203—207.
[3] 菲赫金哥尔茨.微积分学教程:第二卷第三分册[M].北京:人民教育出版社,1954:677-678,703.
[4] 王竹溪,郭敦仁.特殊函数概论[M].北京:北京大学出版社,2000: 97-100.
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