组合公式的偏导数证明
摘要:本文借助于多元函数求偏导数,从分析的角度给出了组合公式的一个证明。从分析的角度来证明组合问题是一个巧妙的想法,对一些问题的求解提供了一种新颖的思路。
关键词:组合公式;偏导数
中图分类号:G642.0 文献标志码:A 文章编号:1674-9324(2018)27-0193-02
一、引言
在大学数学课程如概率论,微积分和线性代数等的讲授过程中,我们常遇到以下组合计数[1][2]:nn n-n n …n-n -…-n n 。这里nn 表示:从n个不同元素里取n 个元素不同组合的个数。该组合计数可以看作将带有标号的n个球分为k组,第一组有n 个球,第二组有n 个球,…第k组有n 个球不同分法的个数。例如含有k个变量n次多项式展开式为:
x +x +…+x = nn n-n n …n-n -…-n n x x …x (1)
又如,k个函数乘积的n阶导数求法为:
f f …f = nn n-n n …n-n -…-n n
f f …f (2)
我们都熟悉以下等式:
nn n-n n …n-n -…-n n = (3)
这个等式是如何计算出来的?
常规的证明方法为排列计数法[1]。简述如下:
我们将带有标号的n个球分为k组,第一组有n 个球,第二组有n 个球,…第k组有n 个球。假设分法有x种。即设x=nn n-n n …n-n -…-n n ,对于一个给定的分组,如果考虑标号,不同的标号如果认为不同的排列,那么对于给定的一个分组,由于不同标号的排列总共有n !n !…n !个新排列。而带有标号的n个球的全排列为n!。这样我们有:
xn !n !…n !=n! (4)
所以有(3)式成立。
本文我们借助偏导数的方法来证明公式(3)。
二、证明
对公式(1)的两边求n阶混合偏导数,有
x +x +…+x
= nn n-n n …n-n -…-n n x x …x (5)
其中m ≥0,i=1,2,…k且m +m +…+m =n。
等式左边为,
x +x +…+x =n! (6)
等式的右边,除了m =n ,i=1,2,…k的那一项外,其他项的偏导数为零。所以有:
nn n-n n …n-n -…-n n x x …x
= nm n-m m …n-m -…-m m
x x …x
=nm n-m m …n-m -…-m m m !m !…m !(7)
由公式(6),(7),所以有:
nm n-m m …n-m -…-m m =
證毕。
特别地,若k=2,则:
x +x = nlx x (5)
n!=nmm!n-m! (6)
所以有:
nm= (7)
三、结论
组合公式nm n-m m …n-m -…-m m = 是我们熟悉的一个公式,常规的思路为借助于排列计数的方法来证明。本文我们借助于求偏导数来证明该公式,这是一种用分析方法证明组合公式的尝试。该方法较为新颖,为我们解决组合问题提供了一种新的思路。
四、致谢
感谢中国石油大学北京教改项目支持。
参考文献:
[1]钟开莱.初等概率论附随机过程[M].北京:人民教育出版社,1979.
[2]茆诗松.概率论基础[M].北京:高等教育出版社,1997.
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