古典概型解题技巧解析
【摘 要】古典概型在概率论中占有相当重要的地位。本文将对古典概型问题的解法进行探讨,题分析,归纳总结出古典概型问题的解题方法。
【关键词】古典概型;分球入盒;对立事件;样本空间;全概率公式
古典概型在概率论中有着相当重要的地位,在概率论的学习中起着奠基性的作用。古典概型是一类特定的随机试验的概率类型,它的主要特点是“各可能结果具有等可能性”。古典概型涉及形式多样的实际问题,本文将对古典概型的解法进行讨论,通过典型例题分析,归纳出解题方法。
1 巧选样本空间解题
例1 n个小朋友随机围圆桌而坐,求其中甲、乙两人坐在一起(座位相邻)的概率。
评:如果更具体点,可选取样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn},ωi表示乙坐在甲左边第i个位置上,它满足有限等可能的要求,要求的事件A={ω1,ωn-1 }。我们这样选取的样本空间Ω是符合古典概型要求(元素有限且等可能) 最小的样本空间了,显然解法二比解法一简便很多。
2 利用分球入盒模型解题
分球如何问题是古典概型中经常遇见的一类题目,它们形式多样,但这类问题可用以下几个公式总结。
2.1 球是可辨别的
例1 设有m个可辨的球,每一个球都等可能地被分配到M(m≤M)个不同的盒子中去,求下列事件的概率:
(1)某指定的m个盒子中各有一球;
解:每一个球有M个盒子可供选择,所以m个球放入M个盒子的放法共有Mm种,且它们都是等可能的。
M个可辨的球放入M个盒子中的分布,是一种理想化的概率模型,可用以描述许多很多直观背景不同的随机试验。如生日问题,性别问题,旅客下站问题,分房问题,意外事件问题。
2.2 球是不可分辨的
这种情形还可以解决其它不同背景的古典问题,例如随机取数问题,英文字母排列问题。
3 利用对立事件方法解题
古典概型中样本空间每一基本事件的等可能性,使古典概型问题具有对称性,也就是考虑对立事件,利用对称思想是解决古典概型的一种常用的思想,如果解决一个问题很困难,可以考虑它的对立事件,则可使问题简单化。
例1 打桥牌时把一副扑克牌分发给4人,问指定某人没有同时得到黑桃A、黑桃K的概率为多少?
4 运用化归的思想解题
化归方法是解决古典概型的另一基本方法,它的基本思想是:当原问题难以解决时,将原问题化为一个比较熟悉、比较容易解决的问题,通过对新问题的解决,达到解决原问题的目的。最常见的就是具体问题一般化。具体问题一般化就是说把特殊问题当作一般问题处理,通过一般问题的解决然后再将问题特殊化就解决了。
例 甲、乙两人各有本钱50元,20元,他们以掷一枚硬币决定胜负,规定每掷一次,若正面朝上则甲付给乙1元,反之,则乙付给甲1元。如此继续下去,直至一人输光。求下列事件的概率a)甲输光b)已输光c)永不输光
评:由上例可以可看出,对于一些求总量的古典概型,如果问题的条件描述了它的逐步变化规则,那么用特殊到一般的方法,通过建立递推关系求解往往是很有效的。
5 利用全概率,条件概率公式解题
例 1 设某类产品是由1,2,3三个加工厂生产的,它们的市场占有率分别为0.5,0.25,0.25,其产品的次品率分别为0.02,0.02,0.04。今从市场任购一件这类产品,试问买到次品的概率是多少?
例2 某保险公司的统计表明,新保险的汽车司机中可化分为两类:第一类人易出事故,其在1年内出事故的概率为0.4,第二类的人比较谨慎,其在1年内出事故的概率为0.2.假定第一类占新保险司机的30%。那么一个新保险客户在买保险后1年内出事故的概率为多少?
解:设事件A=“客户在一年内出事故”,直接求A的概率不容易,要设法找到与A有关的分割,设B=“第一类投保司机”C=“第二类投保司机”,且{B、C}构成Ω的一个分割,并且知道p(B)=0.3,p(A/B)=0.4,p(C)=0.7,p(A/C)=0.2,利用全概率公式可得p(A)=p(B)p(A/B)+p(C)p(A/C)=0.26,这表明,100位新客户在1年内大约有26人出事故。
【参考文献】
[1]戴震祥.古典概型解法探讨[J].宁波大学学报:教育科学版,1999(3):119-121.
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[3]肖楠,周永正.巧选样本空间解决古典概型问题[J].景德镇高专学报,2006(2):78-79.
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[5]王家正.古典概型中的分球入盒问题[J].中学数学教学,1999(5):7-8.
[责任编辑:汤静]
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