多目标线性规划在项目管理中的应用

[摘要] 在多目标组合管理过程中，对现有资源的合理分配提出了如何利用多目标规划理论进行优化处理的一种方法。整个思考过程包括整体目标的设定和多目标规划模型的建立。主要思想是通过构建适当的规划模型，获得各个项目对整体目标的贡献度，并由贡献度与其他因素进一步组合建立二次、三次等需求规划模型，从而最终获得资源优化配置方案。

[关键词] 多目标规划； 资源优化配置； 整体目标； 项目贡献度

[中图分类号] F224.31 [文献标识码] A [文章编号] 1673 - 0194（2013）04- 0061- 03

运筹学是近40年发展起来的一门新型学科。它用定量分析的方法为管理决策提供科学的依据。线性规划是运筹学发展中比较成熟的重要分支，其本身具有一套成熟而完善的理论体系。对于一些单目标的决策规划问题，线性规划有着极其广泛的应用[1]。然而随着现代社会的迅速发展，现实管理过程中出现了大量复杂的多目标决策问题，很多情况下目标之间不仅互为影响，甚至充满了矛盾和冲突。譬如：目标A要求某任务的质量达到最高水平；目标B要求实现该任务的成本必须达到最低水平，显然两者对同一个任务来说是互为制约的目标。由此可见如何科学地平衡这些目标进而达到整体效益最大化，是需要深入思考的。通过研究人们发现，传统的一些管理办法是不能有效地解决上述问题的。为此多目标决策问题的研究便应运而生，其中又以多目标线性规划问题最引人注目，这是因为一般日常工作中的决策优化问题，很多情况下目标函数与变量之间，约束条件与变量之间往往存在着一定的线性函数关系，即使某些复杂的非线性函数关系也可采用一些线性逼近法进行处理。多目标线性规划与传统方法在方法论上是有所不同的，它的核心思想是强调系统性：即多目标规划方法在于寻找一个“尽可能”满足所有目标的满意解，而不是寻找绝对满足这些目标的值[1]。

1 多目标线性规划问题的数学模型及特点

一般形式（向量形式）为[2]：min Z = CQ满足AX + Q′+ Q″ = B X，Q，Q′，Q″ > 0，这里 C、Q、A、X、Q′、Q″、B均为矩阵或向量的形式。与线性规划相比，多目标规划标准型的特点在于：

（1） 构建偏差列向量Q′、Q″ 。分别为负、正偏差列向量，各有 m（m是约束方程的个数）个元素。负偏差变量的含义为当实际值小于目标值时，实际值与目标值的偏差为负偏差，正偏差变量则为当实际值大于目标值时，实际值与目标值的偏差为正偏差。

（2） 价值系数行向量C。C的元素最多不超过 2m个，由目标优先权等级Pi （i = 1，2，…， 2m）和目标优先权系数ηi组成。目标优先权排序P[1]，P[2]，…，P[2m]给出了多目标规划迭代过程中实现目标的顺序。低级目标的实现不能影响高级目标的实现。

（3） 在多目标规划的目标函数中，出现的变量只能是偏差变量。目标优先权等级 Pi既不是变量，也不是常数，它只是说明不同目标实现的先后顺序，Pi的确定一般是由决策部门根据单位具体情况及各目标的轻重缓急加以确定的。而同级目标优先级系数ηi，则通常用来说明同一优先级目标相互之间的比例关系，比例关系的确定应按具体问题的性质和决策要求来定义。

（4） 多目标规划的目标函数是向量值函数，一般情况下不存在通常意义的最优解，而是一组解的向量空间。因此多目标规划主要考虑如何使问题的向量目标在某种意义下获得非劣的有效解。必须根据决策者的满意程度在有效集中找到最终满意解作为决策的依据。

2 多目标规划在项目管理中的意义

纵观项目管理领域，决策问题可谓种类繁多，因为除了一些普遍的原则以外，更多的决策问题取决于项目本身的关注点和具体的目标要求。然而有一点是能达成共识的，即在多项目组合管理中，如何在确保实现某单位整体战略目标的基础上，兼顾各个项目的目标，并自上而下地平衡和协调各个项目的资源使用，使得现有的资源能得到最大化地利用是项目组合资源优化管理中的核心问题。实际工作中通常的情况是项目管理委员会可能会从两方面来考虑：第一种情况，要求项目A完工时间必须最短，项目B预算成本最低，项目C质量最好，项目D所使用的人员最少等，这种情况下，各个目标的关注点不同，因而目标相互之间独立，无明显的冲突和矛盾。第二种情况， 要求每个项目无论是成本、完工时间、质量和资源配置等目标都要同时最优化。这种情况下，目标之间往往互为影响，甚至存在严重的冲突。前面的分析已经指出，很难利用线性规划来解决上述问题。因为线性规划只研究在满足一定条件下，单一目标函数如何取得最优解，线性规划也并不区分各个约束条件重要性。而多目标规划能弥补线性规划的这些局限性，特别是当出现多个目标互为制约和矛盾时，通过多目标规划方法，使一些线性规划无法解决的问题能得到满意的解答。本文正是从这个角度出发，来研究现有资源的优化和配置问题，特别是针对第二种情况，通过分析具体问题建立相应的规划模型，以期获得各个项目应具有的贡献度，并在此基础上为今后的各项具体管理决策提供科学的依据。

3 研究方法

3.1 首先设定项目管理部门的整体目标

对于一个项目管理部门来说，需要制定一些整体目标。这些目标的制定可以通过统计推断历史数据，或通过线性规划，也可通过其他定量化方法得到。总之， 一般来说我们总可假设， 在作多目标管理决策前， 这些整体目标数据是存在的。

3.2 区分各个目标的优先等级

因为现有资源总是有限的，且当目标之间出现不可调和的矛盾时，必然需要将目标按重要性的不同分成一级目标、二级目标，等等。可以把目标优先级作如下约定：

（1） 对同一个目标而言，若有几个决策方案都能使其达到，可认为这些方案就这个目标而言都是最优方案；若达不到，则与目标差距越小的方案越好。

（2） 不同级别的目标的重要性是不可比的。所以在判断最优方案时，首先判断较高级别的目标是否达成，如果达成的话，再进行下级目标的判断。

（3） 同一级别的目标可以是多个。它们之间的重要程度可用数量（权数）来描述。

（4） 若多目标规划问题的解能使所有的目标都达到，就称该解为多目标规划的最优解；若解只能满足部分级别较高的目标，就称该解为多目标规划的次优解或可行解。若找不到满足任何一个目标的解，就称该问题为无解，这表明当前所有的约束条件互为矛盾，提示管理层应该重新设定可行的目标。

如果能直接从规划模型中得到每种资源的配置数据，那固然最好，但建立这样的模型往往比较困难，甚至是做不到的。因为通常来说每个项目对每项资源的需求函数是不同的，甚至得不到正确的函数表达式。由于函数结构的不同，所以就不太可能在一个模型中一次完成规划。笔者仔细研究后发现可以简化该问题，即可以将该问题转换为多次规划。首先通过目标规划模型计算各个项目的贡献度， 然后以贡献度指标作为下一步各种资源配置模型或其他管理决策模型的重要输入做二次或多次规划。

3.3 目标规划数学模型