高等数学中极限教学的几点思考

摘 要：极限思想和方法是解决微积分问题的基本工具，是微积分教学的重点和难点。文章从认识极限方法产生的必然性、理解极限方法的实质、了解极限方法在解决实际问题中的作用三个方面进行探究，为学生学好极限提供了一条有益的途径。

一、认识极限方法产生的必然性

教师开始讲解极限知识时，可在学生原有的数学基础上提出一些简单问题引导学生思考。例如，关于矩形的面积A=a·b的问题，教师可用以下方式来教学：当我们规定边长是1的正方形的面积是1=1×1时，自然就能推出一边长是2，另一边长是3的矩形面积是2×3。由于边长是有理数，可以按照一定的比例得出来，所以就有有理数边长的矩形面积，应该是a×b。如果边长是无理数a，b时，怎么办呢？经过思考，学生会意识到要用边长是有理数an、bn这种矩形面积An去逼近A，亦即要用an去逼近a，用bn去逼近b。然后再让学生回忆圆的面积、圆锥体积产生的情况，使学生清楚，碰到这样一些基本问题时，要解决它们，也应当运用极限方法。教师讲到求解变速直线运动在某时刻的瞬时速度，以及求曲边梯形面积等问题时，应再继续阐述极限方法产生的必然性。

二、理解极限方法的实质

极限的方法，实质上就是一种逼近的方法。例如，圆的面积通过用内接正多边形的面积An，当n无限增大时，可用极限知识确定圆的面积；对于变速直线运动在[t0，t0+△t]上的平均速度—，当△t→0时，可用极限知识来确定它在时刻t0时的瞬时速度等。从中可清楚地看出，为了确定某一个数量，由于我们不能一下子求得所期望的这个数，我们便采用一步步逼近目标的办法，即我们确定的不是这个数本身，而是它的某些近似值，是一连串愈来愈准确的近似值。对这一连串的近似值進行考察，直到把数量准确地确定下来。

假若这一连串数x1，x2，x3，…，xn稳定在某个常数a上，最重要的现象是这一连串数中的每一个数xn与a之差的绝对值（|x1-a|，|x2-a|，|x3-a|，…，|xn-a|，…）可以变得任意小，即{xn-a}是无穷小量，所以掌握并处理好无穷小量，便成为学好极限的关键。

an趋向于a的过程是一个无限接近的过程，亦即|an-a|趋于零的过程是一个无限变小的过程；但就这个过程的每一步，亦即对于每一个给定的n来讲，接近或变小的过程都是有限的（特殊情况例外），通过ε的任意性，便从有限过渡到无限。通过这些问题的剖析，可使学生认识到极限是一个描述变量在无限过程中变化趋势的重要概念，同时也了解了极限方法是人们从有限中认识无穷、从近似中认识精确、从量变中认识质变的一种数学方法。

三、了解极限方法在解决实际问题中的作用

运用极限方法，常能抓住主要矛盾，抓住问题本质，使要解决的问题简单化。例如，考察函数f（x）=ex，我们已知：ex=1+x+—+…+—+0（xn），（x→0），这样在x=0点附近，我们不仅可以通过多项式Pn（x）=1+x+—+…+—对函数ex的许多属性进行理论上的分析，而且可根据给定x=0点附近的每一个x值计算出准确到任意程度的近似值，这样，无论是对变量进行理论上的分析，还是计算它的数值，运用极限方法，常可起到简化处理问题的作用。

再如：证明有极限的数列是有界的。即存在常数M>0，使变量xn的绝对值都小于M，这样一种属性由关系式|xn|N时，皆有|xn-a|<1成立。因此，当n>N时，|xn|=|xn-a+a|≤|xn-a|+|a|<1+|a|，取M=max{|x1|，|x2|，|x3|，…，|xn|，1+|a|}，则对所有的正整数n ，不等式|xn|

极限理论是微积分学的基础，它从方法论上突出地表现了微积分学不同于初等数学的特点，学生初学时难度较大，如何使其尽快地掌握极限方法这一重要数学工具，值得我们进一步思考。

参考文献：

[1]刘玉琏，傅沛仁，林 玎，等.高等学校教材：数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2010.