简化的再生核方法解决非线性两点边值问题

文章编号] 2096-0603（2017）10-0184-02

非線性微分方程得到越来越多的关注，自然界中的很多现象可以被描述为带有边值问题的非线性微分方程。随着科学技术的发展，复杂边值使问题变得更实际并提高了相合性。一般而言，非线性边值问题的理论解是未知的，因此，研究有效的算法得到近似解尤为重要。学者们提出了不同的算法得到数值结果，常用的算法有差分法，变分法等。

再生核算法基于泛函分析中的Soblev空间理论的支撑。目前，对两点边值问题的求解相对比较成熟，本文在此基础上进一步研究非线性两点边值问题，考虑如下非线性微分方程：

v″+a（x）v′+N（v）=h（x），x∈[a，b]v（a）=α1，v（b）=α2（1）

其中a1（x），h（x）为连续函数，N是非线性项。

同轮摄动可将此非线性方程转化为线性方程。这里我们选择简化的再生核方法。与传统的再生核方法相比，我们通过泛函及广义函数理论，给出了再生核，我们给出了再生核的统一表达式，降低了再生核的复杂性。然后构造再生核空间的一个闭子空间Sn，使其满足边值条件。该方法也避免了正交化。该方法符合一致收敛性，而且更加简单有效。

一、同伦渐进法

对于方程（1），构造

G（u，q）=（1-q）（L（u）-h）+q（L（u）-h（t）+N（u））=0. （2）

其中L（u）=u″+a（x）+u′，整理可得

L（u）-h（t）+qN（v）=0 （3）

显然

G（u，0）=L（u）-h（x）=0

G（u，1）=L（u）-h（x）+N（u）=0 （4）

现假设

u（x，q）=u0（x）+u1（x）q+…+uk（x）qk+… （5）

是（3）的解，则当参数q由0渐进到1时，得到方程（1）的解，即

v（x）u■=（x，q）=u0（x）+u1（x）+…+uk（x）…

只需求出u0，u1，u2，…，uk，…再把（5）带入（2）可得线性方程组■u（x，q）

L（u0）=h（t），u0（a）=■，u0（b）=■；

L（u1）=-N（u0），u1（a）=■，u1（b）=■；

L（u2）=-N′（u0）u1，u2（a）=■，u1（b）=■；（6）

…

L（un）=-■■N■uiqi ，u2（a）=■，u1（b）=■

均为线性方程，下面再用简化的再生核方法求解这一系列方程。

二、简化的再生核方法

对于方程（6），具有统一的表达形式

Lui=hiui（a）=■，ui（b）=■ （7）

其中hi=-■■N■uiqi

下面介绍简化的再生核方法。令

fi（x）=LxiR（x，xi），i=1，2，…，n，

g1（x）=R（x，a），g1（x）=R（x，b）

由再生核性质知：f1（x），f2（x），…，fn（x），g1（x），g2（x）线性无关。

令Sn=span{f1（x），f2（x），…，fn（x），g1（x），g2（x）}，Pn：W32[a，b]→Sn为正交投影算子，则f1（x），f2（x）…fn（x），g1（x），g2（x）为Sn的一组基。

由泛函的相关定理，假设ui（x）是（7）的解，则Pnui是（7）的逼近解。由uin■Pnui∈Sn，故Vn可设为

uin=ai1f1+ai2f2+…+ainfn+bi1g1+bi2g2 （8）

定理2.1：设ui是（7）的解，则Pnui满足：

〈uin，fj〉=h（xj），j=1，2，…，n〈uin，g1〉=■〈uin，g2〉=■ （9）

证明：定理2.2在[a，b]上，uin一致收敛于ui。

接下来确定未知系数ai1，ai2，…ain，bi1，bi2。将式（8）代入式（9），得到线性方程组：

■aij〈fj，fi〉+bij〈fj，g1〉+bi2〈fj，g2〉=h（xi），i=1，2，…，n■aij〈fj，g1〉+bi1〈g1，g1〉+bi2〈g1，g2〉=■■aij〈fj，g1〉+bi1〈g2，g1〉+bi2〈g2，g2〉=■

可得

（ai1，ai2，…，ain，bi1，bi2）r=M-1bi，i=0，1，2，…，m。

进而得到ui近似解。故而，我们得到式（1）的近似解.

Um，n=■uin

三、结论

通过之前的理论分析可知，同伦渐进和简化的再生核方法成功地解决了非线性方程的问题。

参考文献：

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