基于本征梁理论的非线性大挠度柔性梁无网格动力学计算

摘要： 本征梁方程是一种建立在Frenet标架上的，具有精确几何变形描述能力的梁的动力学控制方程，具有非线性阶数低、方程形式简洁的优点。提出了一种与本征梁方程相适应的无网格离散和相应的计算方法。针对本征梁方程的特点，引入配点型无网格方法对本征梁方程进行离散化处理，推导出了仅具有一阶导数和二阶非线性项的本征梁运动控制方程。采取此方法建立的大柔性梁在动力学计算过程中无需背景网格，避免了常规有限元建模所需的网格积分。利用这一特性，无需像传统非线性有限元分析那样在每一个计算时间步上进行的网格积分运算，简化了计算步骤。数值算例结果表明此方法具有很好的计算精度。关键词： 非线性振动； 多体动力学； 无网格方法； 本征梁； 大柔性

中图分类号：O322； O313.7文献标志码： A文章编号： 10044523（2017）04053507

DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2017.04.002

引言

梁是一种常见的结构，被广泛应用于工程领域中，如直升机旋翼、大展弦比机翼、桥梁等结构。近年来，随着生物力学的兴起，对DNA双螺旋结构、蛋白质多肽链进行动力学分析时，也常常将这类微观结构简化为三维大柔性梁模型。

Reissner将横向剪切变形[12]引入经典的KirchhoffLove模型[3]，建立了考虑有限转动的中等挠度梁方程。Simo建立了能够精确表征梁变形的几何关系的方程[4]。Antman使用旋转张量来描述梁在运动过程中横截面的变形特征[5]。Simo和VuQuoc分别针对静、动力学的两种情况[67]，采用有限元法对几何精确梁方程进行了计算。Ibrahimbegovic[8]基于Reissner的三维有限应变梁理论，将非线性大挠度梁的动力学方程进行了改造，推广到预弯曲梁分析领域中。Jelenic和Saje在旋转自由度中引入修正项，避免了有限转动梁方程求解过程中的剪切闭锁现象[9]。吴国荣等[10]采用多体系统方法来研究柔性梁大挠度动力响应问题。张志刚等[11]提出了基于曲率插值的大变形梁单元来进行梁的非线性分析。杜超凡[12]等引入网格径向基插值法来分析旋转柔性梁的动力学，推导出系统刚柔耦合动力学方程。章孝顺等[13] 针对在平面内做大范围转动的中心刚体柔性梁系统的动力学进行了研究，基于浮动坐标系法，建立了考虑大变形效应的系统刚柔耦合动力学模型，并进行了动力学仿真。古雅琦等[14]以EulerBernoulli梁单元的完整二阶位移场为基础，推导了一种基于U L格式的大变形几何非线性梁单元。何欢等[15]分析了大挠度空间梁弯扭耦合项对梁的振动响应的影响。余跃庆[16]等基于伪刚体模型原理，提出一种用于模拟具有单拐点大变形梁的伪刚体模型。张新榃[17]等采用非线性欧拉梁模型对风力机叶片大幅值气动弹性动态响应问题进行了研究。张志刚等[18]以表征梁弯曲应变的曲率和轴向应变作为单元参数，构造了能够自动计及“动力刚化项”的大变形刚柔耦合动力学平面柔性梁单元。郑彤[19]等采用绝对节点坐标法建立了三维大变形柔性梁系统的动力学模型。王金龙[20]等利用非线性大变形梁理论建立了海流作用下的SLWR立管模型。

上述方法均以位移为基本变量。对采用位移为基本变量的梁的运动方程来说，若要精确描述梁的有限转动，必然需要通过位移将有限转动表示出来。这样一来，不可避免的会引入高阶非线性项。采用曲率和应变来描述梁的变形可以解决有限转动的精确度量问题，且方程中仅包含二阶非线性项。Borrihe和Mantegazza利用曲率和应变为基本量建立了预弯曲梁的本征方程[21]，但他们在方程的求解过程中仍然需要用位移和转动项将方程重新表示出来。2003年，Hodges建立了一种形式非常简洁的本征梁方程，并将该方程应用于大柔性旋翼[2224]及大展弦比机翼[2530]的动力学和气动弹性研究领域。在无惯性运动时，Hodges提出的本征梁方程与Borri和Mantegazza[21]以及Simo和Vuquoc[1]方程形式类似，不同的是本征梁方程在求解时无需先采用位移和转角重组方程。

由于Hodges提出的本征梁方程具有非线性程度低、方程形式简单的特点，通常可以采用差分格式进行求解。然而，差分解需要将梁划分为非常细密的差分点，否则计算不稳定。然而，采用细密的离散方式必然导致计算规模的大幅度增加。本文针对本征梁控制方程的特点，引入配点型无网格方法对本征梁方程进行离散化处理，推导出了仅具有一阶导数和二阶非线性项的本征梁无网格动力学方程。本文方法建模方法简便，所建立的大柔性梁动力学模型无需背景网格，避免了常规有限元建模所需的网格积分，进而大大简化了方程的求解过程。

第4期何欢，等：基于本征梁理论的非线性大挠度柔性梁无网格动力学计算振 动 工 程 学 报第30卷1本征梁动力学控制方程

Hodge[24]提出的本征梁动力学控制方程，是以曲率和应变为基本未知量建立的方程，由于采用Frenet标架，以自然坐标系描述梁的几何特征，使得方程中不包含复杂的有限旋转变量，这给梁的非线性动力学研究带来极大方便。

1.1本征梁的几何描述

为精确描述大柔性梁的变形，Hodges引入Ωref，Ω0和Ωf分别表示参考构型、初始构型和当前构型，其中参考构型为零曲率和应变的直梁的构型。

取梁横截面弯心连线作为梁的参考轴，并在该轴上定义自然坐标x1（后续文中x1均指梁的弯心连线在自然坐标系下的坐标）。在Ωref中，以笛卡尔坐标系下的一组正交单位矢量[I1，I2，I3]来描述其截面坐标系，其中I1与直梁中性轴指向相同。对初始构型Ω0和当前构型Ωf，其位于x1处的截面坐标系可以分别由一组正交基矢量[b1（x1），b2（x1），b3（x1）]和[B1（x1），B2（x1），B3（x1）]描述，其中b1（x1）为初始构型Ω0的参考轴在x1处的切矢量。由于剪切变形的存在，B1（x1）不一定为当前構型Ωf的参考轴在x1处的切矢量。本征梁构型及各基矢量如图1所示。