基于DQEM的分层流体饱和热弹性多孔介质轴对称问题的动力响应分析

材料的Lame系数，αSi为固相材料的热膨胀系数;Siv=（niF）2γFRiκFi为固相与流相间的耦合系数，其中，γFRi为流相的有效比重，κFi为达西渗透系数;βi为与流速有关的附加热交换因子;ki为物相之间的热传导系数;ρic=ρSicSi+ρFicFi为第i层系统的总比热系数，其中，cαi （α=S，F）分别代表固相和流相的比热系数;ρir=ρSirSi+ρFirFi为第i层系统的总热源强度，其中，rαi（α=S，F）分別代表固相和流相的热源强度.

1.3 界面之间的连接性条件

对于分层不可压流体饱和多孔热弹性体而言，必须满足界面之间的连接性条件.本研究的连接性条件为：1） 界面之间的固相位移分量必须相等;2） 界面之间的总应力分量必须相等;3） 界面之间的流体有效孔隙压必须相等;4） 界面之间的流体流量必须相等;5） 界面之间的变温必须相等;6） 界面之间的热流强度必须相等.

1.4 初始条件

2 DQEM和控制方程的微分求积（DQ）离散化

DQM是BELLMAN等[16-17]在20世纪70年代初提出的一种求解偏微分方程的数值算法.该算法的基本思路是用解区域中所有离散点处沿某个方向函数值的线性加权和作为该未知函数和它的各阶导数在某一离散点的近似值，权系数只与解区域中所选择的离散点和试函数有关.因此，任何一个微分方程都可以转化成相应的代数方程.

DQM具有公式简单、使用方便、计算量少、精度高等优点.传统的DQM对于求解具有非规则区域和间断性条件的问题，存在一些局限性.因此，研究人员构建了微分求积单元法（DQEM），并取得了一系列的研究成果[18-19].DQEM基本步骤是：1） 将求解区域分割成若干个子区域或单元;2） 利用DQM，将各子区域的微分方程和边界条件转化为离散的代数方程组或者常微分方程组;3）将各单元的离散化方程连接起来，组成一个整体离散化的代数方程组或者常微分方程组;4） 采用适当方法求解，从而得到各节点的未知量.

考虑在区域Ω={x0≤x≤a}内的未知函数ψ（x），设沿x方向布置Nx个节点，根据DQM，函数ψ（x）在节点x=xξ（ζ=1，2，3，…，Nx）处对自变量x的n阶导数可近似表示为：

其中，ψk=ψ（xk），为相应节点的函数值，A（n）ζk为试函数对于x的n阶偏导数的权系数.本研究中，权系数由Lagrange插值多项式决定.

按照分层不可压流体饱和多孔热弹性体，耦合系统被划分为n个单元，每个单元内布置N个节点（图2），节点坐标由Chebyshev-Lobatto多项式的零点决定.

2.1 空间域内控制方程的DQ离散化

2.2 边界条件和对称性条件的DQ离散化

2.4 对称轴上奇异性条件的处理

3 分层不可压轴对称流体饱和多孔热弹性体的动力学特性

3.1 数值结果的验证

耦合系统被分别划分为2，3，4个单元，每个单元内布置Ni=11个节点（图2），节点坐标由Chebyshev-Lobatto多项式的零点来决定.

图3给出了热弹性体不同深度处的位移ur曲线，Δt=1 s.其中，ra表示饱和多孔介质半径.实线和圈划线分别对应n=2个单元和n=4个单元的情形下，利用DQEM得到的数值解;点线为利用文献[14]中DQM模型得到的结果.

图4给出了二阶向后差分格式的步长对热弹性体不同深度处位移ur的影响，单元数n=3.实线和圈划线分别对应Δt=1 s和Δt=2 s的情形下，利用DQEM得到的数值解.点线为利用文献[14]中DQM模型得到的结果.

通过计算发现：每个单元内布置Ni=7个节点，能得到令人满意的结果.为了节省篇幅，不在此给出示例.

从图3和4中可以看到：采用两种模型求得的解趋于一致，证明本方法具有较高的精度和收敛性.

3.2 分层不可压轴对称流体饱和多孔热弹性体的动力学特性

3.2.1 热交换系数βi对热弹性体动力学特性的影响

从图5中可以看到：ur随着时间的增加趋于相同稳定值;wr随时间增加逐渐趋于0;p由初始值逐渐消散至0，且表面附近孔隙压的消散速度快于内部的消散速度;θ随时间的增加逐渐上升并由表面向纵深处传导和扩散，最后达到等温状态.同时，当βi较小时，流、固两相之间相互作用力较小，初始阶段固相的热体积膨胀效应被抑制，热弹性体沉降大.当βi较大时，热传导过程快于机械载荷下的固结过程，初始阶段表现为固相的热体积膨胀效应，而后固结作用才逐渐显现.

从图6中可以看到，在分层不可压轴对称流体饱和多孔热弹性体中，由于各个层中βi不同，p和θ在界面处不连续.

3.2.2 体积分数对热弹性体动力学特性的影响

图7为不同的体积分数ci对分层热弹性体动力学特性的影响.实线为分层（n=3）多孔热弹性体的实验结果，此时c1=0.6，c2=0.8，c3=0.6;虚线为均匀多孔热弹性体的实验结果，即c1=c2=c3=0.6.从图7中可以看到，在分层不可压轴对称流体饱和多孔热弹性体中，由于各个层中体积分数不同，wr在界面处明显不连续.

4 结 论

在热局部平衡条件下，基于PMT，研究了分层轴对称流体饱和多孔热弹性体在表面温度载荷作用下的动力学特性，提出了问题的数学模型，采用DQEM、二阶向后差分法及Newton-Raphson迭代法模拟问题的数值结果.为了验证本方法的正确性，研究了不可压流体饱和多孔弹性体的动力固结问题，并与

现有结果进行比较，二者能良好地吻合，证明DQEM具备精度高、计算量小、数值稳定等优点.研究和比较了一维分层轴对称流体饱和多孔热弹性体在表面受到温度载荷时的动力学特性，考察了材料参数对热弹性体动力学特性的影响.

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（责任编辑：包震宇）