对Logistic迭代方程应用的一点讨论

摘要：Logistic方程是描述混沌现象的一个重要方程。本文以Euler-Bernoulli梁模型，采用Logistic方程研究了一类四阶微分方程的特征值问题。通过迭代方程对自然频率数值解的讨论，我们发现得到的解的精度很高，符合实际要求。

关键词：Logistic方程 四阶微分方程 特征值

混沌是一种极为复杂、貌似无规的运动， 是近年来理论物理学中引人注目的新课题。过去，人们一直认为确定性系统和随机系统在本质上是完全不同的， 而美国物理学家Feigenbaum创建的混沌学却将这两个系统联系起来。Logistic方程可以描述确定性系统这种从有序到混沌的过程。Logistic方程的表达式为：

x■=ux■（1-x■） n=0，1，...，N；x■∈[0，1] （1）

式中，u为控制参量。

一、问题的提出

我们采用Euler-Bernoulli梁模型讨论长为L，半径为R的两端自由的圆形截面梁的自然频率，其控制方程为：

EI■+？籽？住■=0 （2）

其中E，I，？籽，？住分别为弹性模量，惯性矩，密度和截面面积。我们考虑对称模态下自由边界条件下的自然频率，则方程（2）具有下面形式的通解：

？棕（x，t）=（Acos？姿x+Bsin？姿x）sin（？棕t+？准）（3）

其中？姿■=？棕■，？棕为圆形截面梁的自然频率，A，B为任意常数。进一步将会得到关于自然频率的特征方程：

tan■+tanh■=0（4）

为了方便起见，采用无量纲变换？棕■=？棕R■，其中G=■为剪切模量，v为泊松比，这样方程（4）变化为：

tan■+tanh■=0（5）

其中？姿■■=？棕■■，b=L/R，根据通常的取法，v=0，3，b=6，这样自然频率的求解就转化为方程（5）的零点的求解。

二、问题的求解及讨论

我们求解方程（5）的原理：当Logistic迭代方程中系数u ≥3.57时，系统处于完全混沌状态，混沌变量x■遍历[0，1]区间。我们根据这个原理及统计学原理，当迭代次数很多后，我们可以近似的认为取遍区间上每个局部的代表值，对这些代表值的函数值进行选择处理并控制精度，就能找出方程（5）的近似解。我们用MATLAB编出相关程序如下：

（1）u=0.4，x■=0.15迭代次数为100000次

运行结果为：

19.9479 12.4333 6.6862 19.9484 6.6863

19.9478 19.9478 0.5011 19.9483 19.9478

0.5011 19.9481 0.0000 19.9482 19.9481

19.9484 19.9481 19.9481 12.4330 19.9483

19.9482 19.9479 12.4331 19.9483 19.9480

19.9479 19.9482 19.9484

由于在19.9480附近出现了很多相近的值，这个时候我们可以修改一下程序，提高精度，得到更加准确的值。

clc；clear；

v=0.3；b=6；=sqrt（2/（1+v））；

x1=0.15；

a1=19；

a2=20；

n=1；

for ii=1：5000

x1=x1*4*（1-x1）；

w1=a1+（a2-a1）*x1；

f1=sqrt（w1*b^2*r）；

ff1=tan（f1/2）+tanh（f1/2）；

error=abs（ff1）；

if error<10^（-5）

a（1，n）=w1

n=n+1；

end

end

运行结果为：19.9481

通过此方法对以上的数据简单处理：0.0000 0.5011 6.6862 12.4330 9.9481

（2）v=0.4，x1=0.15，迭代次数为200000次

对运行数据处理后：0.0000 2.7076

0.5011 6.6862 12.4330 9.9481

Lissa在文[1]中通过其他方法得到的结果为（表7）：

■

运用Logistic方程迭代次数为200000次后的结果与上述结构是完全一致的（因为自然频率是大于零的，所以文[1]中没有考虑零解），这说明该方法的有效性，尤其当函数非常复杂，用其他数值方法求解时会带来很大的麻烦，用此方法尤为简单。在接下来的讨论中，我们研究了初始值对方程求解的影响，为了方便起见，将求解范围缩小至[2，3]，

v=0.3；b=6；？姿=sqrt（2/（1+v））；

x1=0.45；

a1=2；

a2=3；

n=1；

for ii=1：10000

x1=x1*4*（1-x1）；

w1=a1+（a2-a1）*x1；

f1=sqrt（w1*b^2*r）；

ff1=tan（f1/2）+tanh（f1/2）；

error=abs（ff1）；

if error<10^（-4）

a（1，n）=w1；

n=n+1；

end

end

对于初始值取x1=0.45，去迭代次数为一万次，运行结构为： 2.7076 2.7077，对于初始值0.25，我们将迭代次数提高到50万次后，仍将得不到满足条件的解，由此我们可以得出初始值对于迭代有很大的影响。从另外一方面说明了由于初始值的不同，即使迭代次数很大了，有些局部的数还是取不到，反映了混沌理论有其内在确定性，而非随机性。

三、结论

通过Logistic迭代方程对自然频率的特征方程讨论，我们发现得到的解的精度很高，符合实际要求，并且零点的求解高度依赖初始值，对于初始值的不同，可能会导致迭代次数的大幅度提高。

参考文献：

[1]A.W. Leissa， J. So， Accurate vibration frequencies of circular cylinders from three-dimensional analysis， The Journal of the Acoustical Society of America， 98（1995） 2136--2141.

[2]黄润生. 混沌及其应用[M]. 武汉大学出版社， 2000.

作者简介：

刘瑜（1982- ），助教，本科，研究方向为微分方程应用.

（责编 张宇）