浅谈数学中的归纳与发现

教材的内容简单基础，多以公式、概念、简单的例题为主，特别是现代教材的一些图片占了大篇幅，说是启发学生的思维作用，但对于大多数学生来说，内容都难以掌握，思维的启发效果会好吗？

会用数学知识解决生活实际中的简单问题是小学数学教学目的之一。如何实现这一目的——培养学生解决实际问题的能力？教学实践中存在两个方面的模糊认识，一是认为数学应用问题需要较深的数学知识和专业 知识，在小学难以实现；二是认为小学数学应用题就是数学应用问题，只要搞好应用题教学，学生解决实际问题的能力自然而然地会提高。小学数学是初等数学的基础，从小开始培养学生用数学的意识无疑是必须的。“科学技术是第一生产 力”，现代科技的重要标志就是数学化。日常生活中我们见到一些数学成绩挺好的小学生，购物时不会算账， 几样活一块干时不会统筹，不会计算，也没有计算的习惯。我们常说人要精明能干，要精明就要有较强的数学意识。所以培养学生用数学的意识是培养科技意识的重要内容，是现代化建设人才必须具备的素质之一 。以六年级数学为例，应用题是小学数学中的重点和难点，特别是一些较复杂的应用题，由于数量关系较隐蔽，学生在解题时很难找出正确的解题思路，会出现这样那样的问题。因此在应用题教学中教师应教会学生运用已学过的数学知识，大胆想象，力求通过不同的方法，应用归纳与发现来弥补该熟练的教学内容。如六年级上册该熟练掌握的内容：

一、分数

例1某班女生人数比男生人数少■，那么男生人数比女生人数多（）。

教材的解题方法是：女生人数是男生人数的1－■＝■，得男生是女生人数的■，所以男生比女生人数多■－1＝■.

归纳1：甲比乙少■，乙比甲多（）。

发现：乙比甲多■ .

归纳2：甲比乙多■，乙比甲少（）。

发现：乙比甲少（■）。

归纳：此题型如果要求甲比乙多n分之一，乙比甲少多少？答案就是分母加一分之一；如果求甲比乙少n分之一，乙比甲多多少？答案就是分母减一分之一。总之，如果分子不是1的话，甲比乙多■，则乙比甲少（1－ ■）.

例2 水成冰后，体积增加■ ,冰再融化成水后，体积减少■.

发现：如果甲到乙增加■，则乙再到甲减少 ■.

二、百分数

例3（1）一件10元的商品，先提价15%，再降价15%，这件商品降低15%·15%.

（2）一件10元的商品，先降价15%，再提升15%，这件商品降低15%·15%.归纳此题型为：先增n%、后减n%，最后（）；或先减n%、后增n%，最后（）。发现：结果都是减少了n%·n%.

如此题型的规律还适用分数当中，如先增或先减■，再减或增■，最后都是减少了■·■.

三、其他

（1）计量单位（一石三鸟）：长度单位、面积单位、体积单位的联系.

如：1m3＝103dm3＝106cm3,1m2＝102dm2＝104cm2,1m＝10dm＝102cm.

即面积单位之间的进律换算是长度单位进律换算的平方倍，体积单位的进律换算是长度单位进律换算的立方倍。如1m2＝104cm2是通过（100cm）2＝104cm2得来的、1m3＝106cm3是通过（100cm）3＝106cm3 得来的 。此方法是此题型的记忆、计算技巧的好方法，知一则知其三，所以总结为“一石三鸟”。

（2）分数、比、除法的联系（三头六臂）：

把比、分数、除法总结为“三头”，它们的前项、后项；分子、分母；被除数、除数，总结为“六臂”。它们之间的联系可以相互转化，可以用于化简、解方程、解应用题等等。如化简：■：■ ＝■÷■＝ ■×■＝■＝3:4.

解方程：（2x－1）:4＝5:2.5，即■＝2解得x＝4.5.

解应用题：一个榨油厂榨26千克豆油用黄豆200千克，照这样计算，用5吨黄豆可以榨出多少吨豆油？

解：设5吨黄豆可以榨x千克豆油。

■＝■或200:26＝5000:x，等等。所以比、分数、除法（三头）的前项、后项；分子、分母；被除数、除数（六臂）之间的关系应用较多，也可以较多的应用。

在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一。从二十世纪三十年代开始，在解析数论、刁藩都方程、一致分布等方面都有过重要的贡献，出现了华罗庚、闵嗣鹤、柯召等第一流的数论专家。其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论方面的研究是享有盛名的。1949年以后，数论的研究得到了更大的发展，特别是在“筛法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界领先的优秀成绩。 陈景润在1966年证明“歌德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”以后，在国际数学界引起了强烈的反响，盛赞陈景润的论文是解析数学的名作，是筛法的光辉顶点。

总之，数学知识发生过程就是归纳思想应用过程，解题中应用归纳思想,不仅能由此发现给定问题的解题规律，而且能在实践的基础上发现新的客观规律，提出新的命题。本文先叙述了归纳的意义、类型，进而讨论以归纳法为主要工具，去探索和发现数学问题的解题途径。

数学归纳法作为由特殊概括出一般的一种思维方法，具有两种基本意义，首先数学归纳法是一种推理方法，称为归纳推理。它可以为我们提出猜想，为论证提供基础和依据。其次归纳是一种研究方法，归纳是一种再创造性的探索式思维方法，能开发智力，拓宽思路，引出猜想，它在发现问题和探索解题途径的过程中起着重要作用。数学归纳法可按照它的概括事物是否完全分为两种基本形式——不完全归纳和完全归纳。低年级的数学可以结合、借鉴高年级的内容进行总结、归纳与发现，使基础性教材更熟练，从而打下坚实的基础。