关于Fibonacci数列通项的探讨

Discussion on General Term of Fibonacci Sequence

Yu Xuewen

（北京交通职业技术学院，北京 102200）

（Beijing Jiaotong Vocational Technical College，Beijing 102200，China）

摘要： 本文给出了Fibonacci数列通项公式的几种不同证法，体现了Fibonacci数列蕴含的数学思想。

Abstract: Several different methods of proof about the general term formula of Fibonacci sequence are given in this paper, and the mathematics thought which lies in Fibonacci sequences is reflected.

关键词： Fibonacci数列 数学思想

Key words: Fibonacci Sequence；Mathematics Thought

中图分类号：G42文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）15-0221-02

0引言

Fibonacci数列源于中世纪意大利数学家Fibonacci提出的著名的Fibonacci兔子问题。Fibonacci在1202年写成的《算经》中提出这样一个有趣的问题：在一年之初把性别相反的一对新生兔子放进围栏。从第二个月开始，母兔每月生出一对性别相反的小兔。每对新生兔子也从它们第二个月大开始每月生出一对新兔。试问一年后围栏内兔子的对数。（若不计兔子的死亡数）

由此发现，从第一个月开始各月的兔子数为1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144……，此数列即为Fibonacci数列。此数列的特点是：从第三个数开始，每个数是它前面两个数的和。由递归思想可知第n个月后共有兔子的对数Fn满足：

F■=F■+F■（n?叟2）F■=F■=1（1）

由于Fibonacci数列在理论上的严谨性和应用上的广泛性，因此越来越引起人们对Fibonacci数列研究的兴趣。十八世纪初，棣莫佛在其所著的《分析集锦》中第一次给出了Fibonacci数列通项表达式：F■=■■■-■■。关于此式的证明，人们容易想到是用数学归纳法。但用数学归纳法证明学生体会不到探索和发现数学知识的过程，感悟不出其中的数学思想。基于此种想法，文章介绍几种推导Fibonacci数列通项的方法，这些方法既简单又蕴含着非常深刻的数学思想。

1特征方程法

由于Fibonacci递推关系是线性的和齐次的，所以可设F■=q■，则有q■=q■+q■（q≠0），即q2-q-1=0，得特征根为q■=■，q■=■

则（1）的通解为F■=C■q■■+C■q■■，其中C■，C■是任意常数。将初始值F■=1，F■=1代入通解中，解得C■=■，C■=-■，因此F■=C■q■■+C■q■■=■■■-■■。

用此方法可以解决由线性递推关系确定的数列的通项问题。

2初等代数法

设α=■，β=■，显然α，β是方程x2-x-1=0的两根，且α+β=1，αβ=-1， 由（1）得F■=（α+β）F■+αβF■，即得

F■-αF■=βF■-αF■（2）

或F■-βF■=αF■-βF■（3）

从而构造了两个数列F■-αF■，F■-βF■，数列（2）、（3）分别是以β、α为公比，F■-αF■=1-α、F■-βF■=1-β为首项的等比数列，因此有F■-αF■=（1-α）β■F■-βF■=（1-β）α■， 又由α+β=1，所以有F■-αF■=β■F■-βF■=α■，从中消去F■得到：F■=■■■-■■。

此方法体现了方程的思想和化归的思想，将Fibonacci数列转化为学生熟悉的等比数列来解决，使学生容易理解接受的同时也消除了学生畏惧数学的心里。

3生成函数法

设g（x）=F■+F■x+F■x■+F■x■+…+F■x■+…，则有

-xg（x）=-F■x-F■x■-F■x■-F■x■-…-F■x■-F■x■+…，

-x■g（x）=-F■x■-F■x■-F■x■-F■x■-…-F■x■-F■x■+…，将上述三式相加得1-x-x■g（x）=■F■-F■-F■x■，其中F■=0，又由（1）知F■-F■-F■=0，n?叟2，所以g（x）=■，设α=■β=■，

g（x）=■=■■-■

=■■α■x■-■β■x■=■■α■-β■x■，

所以F■=■■■-■■。

此方法体现了函数思想，数列的许多问题都可以转化为函数来解决。

4矩阵法

Fibonacci数列的递推关系（1）可以表示为F■F■=1 11 0F■F■，n?叟2，矩阵A=1 11 0称为Fibonacci矩阵。

所以F■F■=1 11 0F■F■=1 11 0■F■F■=…=1 11 0■F■F■=1 11 0■1 1 ，

因此只要需求出A■，就可以求出F■的表达。而矩阵A的特征多项式为Iλ-A=λ-1-1-1 λ=λ■-λ-1，所以特征根为λ■=■，λ■=■，而对应于λ■=■、λ■=■的特征向量分别为η■=λ■1、η■=λ■1。

令P=η■，η■=λ■ λ■11，则P■=λ■ λ■11■=■1-λ■-1 λ■，且P■AP=λ■ 00λ■

因此A■=Pλ■ 00λ■■P■=■λ■ λ■11λ■■ 00λ■■1-λ■-1 λ■

=■λ■■-λ■■ λ■λ■■-λ■λ■■ λ■■-λ■■ λ■λ■■-λ■λ■■

=■λ■■-λ■■ λ■■-λ■■ λ■■-λ■■ λ■■-λ■■，λ■λ■=-1

所以，

F■F■=■λ■■-λ■■ λ■■-λ■■ λ■■-λ■■ λ■■-λ■■1 1

=■λ■■-λ■■+λ■■-λ■■ λ■■-λ■■+λ■■-λ■■=■λ■■-λ■■ λ■■-λ■■，

其中λ■+λ■=1，λ■λ■=-1。即

F■=■■■-■■。

将Fibonacci数列的递推关系用矩阵表示后，使数列与矩阵貌似风马牛不相及的东西有机地联系在一起了。同时也可以用行列式的知识解决Fibonacci数列的性质问题。

5结束语

Fibonacci数列问题中蕴含着归纳思想、函数思想、方程思想、递推思想、化归思想等重要的数学思想，在教学中让学生充分理解和掌握这些思想方法，对提高学生解决问题的能力是非常有价值的。

参考文献：

[1]Brualdi，R.A.Introductory CombinatoricsFourth Edition[M].北京：机械工业出版社，2005.2.

[2]劳会学.Fibonacci数列通项公式的四个直接证明[J].数学的实践与认识第37卷第15期.

[3]屈婉玲.组合数学[M].北京：北京大学出版社，2010.6.