美妙的数学

古希腊的普洛克拉斯是柏拉图派的领军人物、评论家、哲学家，他曾说过：“数学是这样一种东西：她提醒你有无形的灵魂，她赋予她所发现的真理以生命；她唤醒心神，澄净智慧；她给我们的内心思想添辉；她涤尽我们有生以来的蒙昧与无知。”“哪里有数，哪里就有美。”

数学追求的目标是，从混沌中找出秩序，使经验升华为规律，将复杂还原为基本，所有这些都是美妙数学的标志。数学的美妙是真理的光辉。

首先看一下，什么算作美呢？应该有这么两条标准：一、一切绝妙的美都显示出奇异的均衡关系（培根）；二、美是各部分之间以及各部分与整体之间固有的和谐（海森堡）。数学本身的美具体表现在：简单、对称、和谐、统一、普遍、典型、完备和奇异等。

数学中的对称美是很明显的。二维空间中常见的对称对象是平面图形，比如各种壁画。虽然各种壁画的数目无穷无尽，但类型却是有限的。这些壁画所具有的对称性可以根据各种对称群（即使得壁画不变的变换组合）进行分类，这些对称变换包括：沿一条直线的平移，关于一条直线的反射，关于一个点的旋转。十九世纪九十年代，E.S.Fedorov（费德洛夫）归纳证明出：对于装饰性嵌线或者柱基这样的线性壁缘，只存在七种不同类型的对称群；对于平面装饰（如地面、壁画或者挂毯等）只存在十七种不同类型的对称群。而且这些平面二维群只有180°、120°、90°和60°的旋转对称，所以它们可能是轴对称、三角形对称、正方形对称或六边形对称。阿罕布拉宫以及从埃及到日本各个文明中的装饰都几乎使用了上述所有对称。阿拉伯人和希伯来人由于受到基督教的戒律，严格禁止形体艺术，所以他们发展了纯粹的抽象的几何壁画艺术。十四世纪，他们取得了这一领域中最为辉煌的成果：格拉纳达的阿罕布拉宫铺砌。至于到了三维空间，最能体现对称美的对象则是各种各样、美轮美奂的晶体。而直到二十世纪七十年代，才有人证明出了四维空间中存在着4783个对称群。

同时，数学又是相当和谐简洁的，如出身大不相同又十分重要的五个数 能和谐共处在一个简洁的等式中，即欧拉公式。从数的产生到数量关系的形成，再到各种演算的法则，无不体现着数学的一种平衡和谐的美。

数学，也许还有古典音乐，是人类精神的最高创造。音乐中的音节和弦位和数学中的比例以及黄金分割本来就有着不解之缘。数学完全从头脑中产生，就像雅典娜从宙斯的前额中跳出来一样。作为人類思想的最高境界，数学往往带有它那种特有的灵性和神秘，远离芸芸众生，可是对于少数人，数学却能像音乐一样，给他们以巨大的心灵震撼。《罗素自传》的第一卷中写到：“11岁时，我开始学习欧几里得几何学，哥哥做我的老师。这是我生活中的一件大事，就像初恋一样令人陶醉。我从来没有想象到世界上还有如此美妙的东西。”他所提到的还是两千多年前的欧几里得，而到了21世纪所有的数学瑰宝就变得更加光彩夺目，甚至远远超出了一般人的想象。就像无线电波实际上是解微分方程的产物一样，数学发展的结果是如此深刻，超出了一般人的理解。

我们从小学一直到大学甚至研究生毕业，都要学习大量的数学，有些人会认为不太合理。但纵观中国的近代发展史，会发现虽然我们可以“师夷人之长技以制夷”，但是那永远也走不远，因为许多技术建立在科学基础之上，不学科学就难以对技术有重大改进，而学科学又不能不学一整套数学，其中微积分只不过是基础的基础。而学数学又与学自然科学不同，总要从基础学起。要想学微积分，首先要把算式、代数、几何、三角、解析几何学好，学计算机又要学离散数学，学经济或金融又要学概率、统计等等。把这一整套学下来，有些人的确会吃不消，但也许这并不是那么不合理的。曾经，柏拉图的学园禁止不懂几何学的人入内，因为他觉得不会几何学就不会正确地思考，而不会正确思考问题的人不过是行尸走肉。这就体现了数学学习对人类和社会发展的奇妙影响，数学的美妙不仅仅存在于数学本身，还体现在人类的素质和社会的状态之上。

毕达哥拉斯在公元前6世纪发现：在音乐、自然和数学之间存在着对应关系，谐和比与物理比相对应，并由整数比来量化。这不只是一种巧合，而是一种必然性的展示，万物皆为有理的。中国古代著名的哲学家庄子说：“判天地之美，析万物之理。”这也许就是学习和研究数学的指导思想和最高美学原则。

（作者单位：西安财经学院行知学院）