电功公式的推导

一、电流做功的实质

电路接通的瞬间，恒定电场以真空中光速C在导体中传导，电路中各处的自由电荷几乎同时开始定向移动，整个电路也几乎同时形成电流。我们要注意两点：①恒定电流中，电荷定向移动的速率稳定不随时间变化，可以认为是静电力与阻力平衡的结果，且数值极小，为 数量级；②在恒定电流的电路中形成恒定电场，各处的电荷分布和电场强度都是稳定不随时间变化，基本性质与静电场相同。由此可知，一段时间里，电流在一段电路中所做的功就是恒定电场对这段电路每一个自由电荷的静电力在这段时间做功的总和，结果这段电路中所有定向移动的自由电荷电势能减少转换为其它能。

二、电功公式的推导

图1表示很小的一段电路（1），电荷处于由左向右的定向移动，它们从这段电路的左端移动到右端所用的时间为t（2），根据第一小节分析，在这段时间里，通过这段电路的总电荷量q=It，如果这段电路左右两端的电势差为U，那总电荷量q从左端移动到右端的过程中，静电力做的功为： W=q﹒U=IU﹒t

这表示，电流在一段电路中所做的功（3）等于这段电路两端的电压U，电路中电流I，通电时间t（4）三者的乘积。以上是教科书中电功公式的推导，显然上述过程是用微元方法推导的，但比较推导过程中的（1）（2）与结论中的（3）（4）不难发现概念的跨度和思维的跃进有点大，中学生往往难以理解和接受。

三、详解电功公式推证

一段电路AB形成的恒定电流I，如果某一时刻AB上电荷分布如图2所示，取一段很短的时间Δt，那么在Δt内流进A端的电荷（A端左侧电荷）q= ，这些自由电荷定向移動速率极小，向前推移的距离Δx也极小，为保持AB上的电荷分布不变，那么AB上原分布的每一部分q均向前推移Δx。同时也有相同的电荷量q移出B端（B端右侧电荷）。每一部分q推移过程中对应的电势降落 ... ，所以 。而电流在Δt内做的功等于每部分电荷q受到的电场力做功总和。那么 =

另外上述结论用等效法也能得出。对比图2（1），（2）这一段电路中所有自由电荷电势能减少量等于流进部分电荷q从A端移动到B端电势能的减少 ，许多时间 累积为一段时间t，那么t= ，所以在时间t内电功为：W=△w1+△w2+△w3+…+△wn=IU（△t1+△t2+△t3+…+△tn） =IUt.

电流在一段电路中所做的功，等于这段电路两端的电压U，电路中电流I，通电时间t，三者的乘积。这样结论中的陈述与推导中的条件含义一致。