高等数学教学内容与教学方法改革的几点建议

摘 要：针对我国高等数学教学的现状及出现的问题，通过比较国内高等数学教材和国外高等数学教材的差异，提出了在高等数学教材的编写、在高等数学教学内容等方面改革的几点建议。

关键词：高等数学；教学改革；国内外教材差异

中图分类号：G642.1文献标识码：A文章编号：2095-7394（2015）04-0094-04

0 引言

培根说：“数学是科学的大门和钥匙”。数学是科学技术的基础，高等数学是理工科院校的重要的基础课程，是几乎所有理工科专业课的基础。无论是物理、化学、经济还是工程技术等其它专业，在其专业课的教材里，很多专业概念都要用到数学模型来表示，可以毫不夸张地说，高等数学学不好，整个大学的课程就不可能学好。学习高等数学，可以培养学生的逻辑思维能力以及分析问题、解决问题的能力，学生对高等数学内容掌握的情况，不仅直接关系到后继数学课程（复变函数、概率论与数理统计）的学习，同时也影响到专业课的学习，而且对学生今后学习、工作能力的提高和发展都有着深远的影响。[1]

自从1999年大学开始“扩招”以来，我国的高等教育已经由精英教育过渡到大众教育，高等院校大规模的“扩招”，提高了国民的整体文化素质，缩小了我国与发达国家的教育水平的差距，但同时也产生了一些负面影响。为了适应这种情况，许多教育工作者已经进行了一些改革。[1-4]但是由于大众化教育的快速推进，使得高等数学的改革明显滞后于社会的发展，教学内容和教学方法的改革力度还远远不够，针对性不强，本文以国内外高等数学教材的差异为切入点，谈谈本人对高等数学教学改革的几点建议。

1 高等数学教学的现状及出现的问题

1.1 高等数学课程的设置

高等数学的课程在高等院校中是作为公共基础课设置的，理、工、农、医、商各专业都要开设高等数学课程，开设范围非常广，也就是说学习高等数学的学生占很大比例。高等数学内容繁多、概念定理抽象，要有一定的中学数学基础才能进行学习。在高校大扩招背景之下，学生素质的下降、师资力量的不足以及某些教育教学管理部门指导思想的偏差，导致高等数学学时的减少。现在高等数学学时一般安排160～176学时，微积分安排96学时，相对扩招之前，学时减少了很多，教师为了在规定的教学时间内完成教学任务，需要对教学内容做到详略得当，重点突出，降低难度。对学生来说，学时减少，意味着课堂训练的时间减少，加大了学习的难度。

1.2 学生的数学基础平均水平降低

自从1999年我国大学开始“扩招”以来，大学的招生人数从1998年的108万，大幅增加到2014年的698万人，录取比例由1998年34%增加到2014年的74.3%，“扩招”导致录取的学生文化素养较“扩招”之前降低，同时，引起高校师资力量的缺乏。这些情况又导致高校教学质量下滑和基础设施的不足，同时，学生的综合素质也逐年下降。学生普遍反映高等数学难学，不愿意学，不知道学习高等数学有什么用途，缺乏学习的动力和兴趣，认为高等数学是一门非常枯燥且没有实际应用价值的课程。由于师资力量的缺乏，高等数学都是合班上课，几十人甚至上百人在一起听课，教学效果难以保障。在高等数学课堂上，有的学生上课埋头看手机、打瞌睡、看其它书的情况越来越严重，甚至旷课的现象也时有发生。出现这些状况是有多方面原因的，除了大学扩招，导致学生质量参差不齐，总体质量下降以外，还有许多方面的问题值得广大数学教育工作者探讨。

江苏理工学院学报第21卷

第4期

黄金城：高等数学教学内容与教学方法改革的几点建议

1.3 高等数学教学内容与中学数学教学内容衔接不当[2]

国内高等数学教材的第一节一般都是安排函数的相关内容[5-6]，主要是对集合、映射、函数概念的复习，将基本初等函数中的余切、正割、余割函数及反三角函数作为初等数学中已经讲过的内容来处理，实际上，初等数学里只详尽讲授了正弦、余弦、正切这三个三角函数，而对于余切、正割和余割函数及反三角函数并没有讲解。在高等数学教材里有关三角函数及反三角函数求极限、求导数的内容，默认了学生已经掌握这些知识的前提下来用的。在高等数学里，有关三角函数的平方关系式1+tan2x=Ssc2x，1+cot2x=csc2x的应用较多，比如用基本积分公式求积分，用第二换元法求积分时经常要用到这几个平方关系式，但是初等数学并没有给出这两个平方关系式。初等数学改革后，三角函数的和差化积公式在初等数学教材里已经删掉了，但是在高等数学里却有大量的习题要用到这些公式。初等数学改革后，极坐标在有的省份已经不讲了，而在高等数学中，用定积分的求平面曲线的弧长，利用极坐标计算二重积分，利用柱面坐标计算三重积分都要用到极坐标的相关知识。针对这种情况，许多教师处理的方法是在用到这些知识时临时补充，这样的做法对学生来说感到唐突，使学生越发感觉高等数学是一种灌输式的教学。由于学生对这些新补充的知识没有得到相应的训练，很多学生在用到这些公式解题时不能得心应手。面对初等数学的改革，高等数学的改革显得被动而又迫切，高等数学的改革滞后于初等数学的改革，这种情况对学生学习高等数学课程非常不利。

2 高等数学教材和西方国家高等数学教材的差异

我国高等院校使用的高等数学教材源于前苏联的教材体系，在内容的组织和陈述方面注重系统性、严密性、精确性，广大的高等数学教师在授课中或多或少受到教材的影响，授课中也比较注重内容的逻辑推理，这种教材和教学方式在精英教育时代为培养众多优秀的卓越人才作出了贡献。但是，在推行大众化教学的今天，我国经典的高等数学教材显得跟不上时代的变化。二战之后，美国的高等教育规模发展迅速，至上世纪60年代末，在校大学生数超过18～21岁青年人口的一半，美国高等教育已经先于中国几十年达到大众化教育的阶段。美国的高等数学教学在近七十年来经历了巨大的改革，其中一些改革的原因是由于高等院校扩招所引起的，这与我国目前高等数学教学所面临的情况非常相似，美国的高等数学改革已经取得了一些举世瞩目的成就，美国的教育思想值得我们去学习和效仿。

近几十年来，美国在高等数学教材建设和改革方面已经取得突出的成就。我国高等数学教材和美国国内高等院校所使用的高等数学教材[7-8]相比存在以下几点差异。

2.1 国外的高等数学教材起点较低

比如《托马斯微积分》在第一章介绍预备知识就有72页内容之多，详尽讲解了集合函数等相关知识，非常有利于学生自学这些预备知识。国内的教科书一开始就介绍数列的极限，并且讲解数列极限的“ε-N”定义的内容比较多，例题和习题侧重于用数列极限的定义证明极限，本来数列、函数极限的定义非常抽象，很难理解，若过多地讲解用极限的定义证明，对有些学生来说相当于“当头一棒”，一开始就被搞糊涂了，从而丧失了继续学习高等数学的兴趣和信心。

2.2 国外的高等数学教材比通俗易懂

概念的引入都是从生活中大家比较熟悉的具体的一个或几个相关的例子开始，然后再引出定义。比如《托马斯的微积分》在第十四章第五节引入“方向导数”的概念之前首先图文并茂地举了等高线与河流方向的关系这样一个例子，让读者既明白了为什么要学习方向导数，又懂得了利用方向导数可以解决哪一类的实际问题。国内的高等数学教材大多是直接给出方向导数的定义，然后给出计算方向导数的例题，令学生不知道为什么要研究方向导数，学了方向导数有什么用途。国外高等数学教材中复杂的定理及其证明较少，比如柯西（Cauchy）中值定理一直是令初学者比较头疼的内容，《托马斯微积分》就没有介绍这部分内容，而国内的教材都介绍了，而且要求学生用柯西（Cauchy）中值定理做一些比较难的证明题。

2.3 国外的高等数学教材特别重视数学的应用

选用的例题和习题范围很广，例题由易到难，逐步过渡，适合不同层次的学生使用。大量的例题、练习题来源于实际问题，文字叙述比较长，将实际问题描述得非常具体，注重交代问题的来龙去脉，注重实际问题的数学建模，内容涉及到自然科学、社会科学以及工程技术等领域，有的问题和学生的专业紧密结合。比如带有实际意义的数值计算、数值估计、数值逼近的习题，利用数学软件计算的习题或带有研究探索性的题目等。教材中的应用题数量多，覆盖面广，所用问题来自生活实际，给出的数据也真实，不少应用题反映了当代科学发展的新成果，紧跟科技发展的步伐，给读者耳目一新的感觉。而国内高等数学教材所配备的例题和习题缺少这些优点，习题不够丰富，题型变化较少，特别是有真实数据、符合生活实际的应用题非常稀有，应用题主要集中在微积分在物理、几何中的传统应用，这些应用虽然经典，但是缺少时代气息，使人感觉所学知识与实际生活中的问题没有联系，即使有少量其它应用题，也是大多直接给出数学模型，配备习题的目的主要是为了锻炼学生利用定理证明利用公式做题的能力，侧重于计算能力的培养，这种情况影响了学生学习高等数学的兴趣和积极性。学完高等数学课程后，许多学生不会应用所学知识解决实际问题，大部分学生只会套用公式解题。学生对学习高等数学这门课程的用途不明确，感觉是为了考试获得学分而学的，这种状况使高等数学课程失去了应有的意义。

2.4 国外高等数学教材特别重视计算机的应用

现代计算机技术日新月异，随着计算机技术的发展，大量数学应用软件出现，利用计算机可以便捷地解决很多复杂的数学计算问题，美国高等数学教材配备了大量要求用计算机技术解决的问题。我国的高等数学教材过分注重理论及逻辑推理，缺乏对计算机技术的应用。

2.5 国外高等数学教材非常注重基本概念、定理及习题与图形的结合

使得晦涩难懂的抽象内容变得直观通俗易懂。比如，在讲旋转曲面及柱面时，所绘制的图形动态、直观地展现了旋转曲面及柱面形成的过程，给人感觉非常形象、具体。在讲解二重积分的概念时，国内外高等数学教材都是用求曲顶柱体的体积引入的，将曲顶柱体分割成若干个细曲顶柱体，并用细平顶柱体的体积近似细曲顶柱体的体积，《托马斯微积分》为了呈现分割越细，近似程度越好的效果，分别取了分为16，64，256个细曲顶柱体来展现，而国内高等数学对这部分内容仅限于文字表述。《托马斯微积分》的印刷为彩印，同一坐标系下，不同的曲线、曲面、几何体用不同颜色绘制，使得教材内容充实又丰富多彩。

3 改革措施

目前，应尽快改革这种现状，以满足高等教育自身和现代经济社会发展的需要。

首先，要进行教材体系的改革。针对我国高等教育的现状编写合适的高等数学教材，既要考虑和初等数学的衔接，又要考虑教材的实用性、应用性，克服经典教材的缺陷，借鉴国外优秀高等数学教材的优点。

其次，在高等数学教学时要降低讲授的难度。对高等院校的教师来说，在讲授抽象的定理概念时，要用尽可能多的通俗的事例加以说明，对复杂深奥的定理的证明，要略去其复杂的理论推导，而重点介绍其数学思想、方法；对于学生不太熟悉的内容，如极坐标、反三角函数等内容，要补充讲解其内容，做好与高中数学的衔接。为了应对课时减少，在上课时要详略得当、重点突出，注重培养学生的计算能力。

再次，要强调数学的应用性，让学生直观地体验高等数学的地位和作用。要与时俱进，在备课时，可以结合学生的专业，补充一些实际的应用问题，也可以通过一些例子训练学生数学建模的能力，从而提高学生分析问题和解决问题的能力，让学生不再对“学习高等数学有什么用”感到迷茫。

参考文献：

[1]郭鹏，孙红茹.教学型高校“高等数学”课程建设探析[J].北京工业职业技术学院学报，2006，5（3）： 67-69.

[2]朱涛.工科高等数学教学的一些思考[J].科技信息，2014（2）： 75-76.

[3]李振祥.中美微积分教学改革的比较与研究[J].浙江工商职业技术学院学报，2006，5（2）：58-61.

[4]姜兆敏.关于如何做好高等数学与高中数学衔接的见解[J].四川教育学院学报，2010，26（7）：114-116.

[5]闫德明.高等数学[M].北京：清华大学出版社，2012.

[6]同济大学数学系.高等数学[M].7版.北京： 高等教育出版社，2014.

[7]George B Thomas，Maurice D Weir，Joel Hass，et al.Thomas′Calculus[M].11th Edition.New Jersey： Addison Wesley，2004.

[8]James Stewart.Calculus[M].Belmont： Thomson Higher Education，2008.

Some Suggestions about How to Reform Contents and Methods in Advanced Mathematics

HUANG Jin-cheng

（Mathematics & Physics Teaching Dept.，Hohai Univ.，Changzhou 213022，China）

Abstract：By comparing the differences between domestic and foreign textbooks of advanced mathematics，some suggestions are proposed on textbooks and teaching contents on advanced mathematics in view of current situation and problems appeared in advanced mathematics in China.

Key words：advanced mathematics；reform in education；differences between domestic and foreign textbook

责任编辑 祁秀春