无限长密绕载流螺线管内外磁场的深入分析

摘要 针对普通物理学中理想螺线管外磁场为零的问题，提出建立与实际更接近的螺线管模型，并给出其磁场分布。从理论上说，管外磁场是否严格为零，与管外和管内磁场相比是否可以忽略，这是两个不同的问题。对于无限长载流直螺线管磁场的计算，似乎不难，但在分解电流时易出错误，本文给出清晰的分析和明确的答案。

关键词 直螺线管；密绕；面电流密度；磁场

中图分类号：G644.5 文献标识码：B 文章编号：1671-489X（2008）20-0064-02

在电磁学课程中讲授恒定磁场时，通常都把密绕载流长直螺线管直接近似看成是一系列的圆线圈排列组成。其内部生成的合磁场可由Ampere环路定理证明，管内磁场是均匀的，即得出[1]：。

式中n是单位长度的匝数，I是电流强度。

该结果是忽略了螺距而得到简化的结果，现就将螺线管线圈进行简化来分析管内磁场的大小分布情况。

1 螺线管内部磁场分析与计算

对于密绕螺线管，螺距即为导线的直径。在密绕条件下，相当于螺线管表面有一均匀的表面电流层。定义垂直通过单位长线段的电流强度为面电流密度。

如图1所示，根据理论计算可知，的大小为：。

其中R为螺线管半径，轴向与环向分量为[2]：。轴向总电流为：。通过单位长度线段的环向总电流为：。

如图2所示，通以电流为I的密绕载流长直螺线管可以看为半径为R的圆柱形壳层模型，其平行于轴向方向，由通以总电流为I和单位长度的匝数为n的无限多个大小为I的环向电流两部分组成。

因此，螺线管内部磁场就由这两部分电流产生组成，在柱坐标下，设轴向为z轴，半径方向为r轴，环向为轴。

1.1 圆柱形壳层上平行轴向方向的电流I在螺线管内部产生的磁场的计算

1）先计算的径向分量。作如图3所示的同轴圆柱面。根据磁场Gauss定理，通过上述闭合圆柱面的磁通量为零，即。

由于左右底面、与垂直，故积分为零。则由上式可得：。

由轴对称可知，侧面各点径向磁场强度大小都相等，并与侧面垂直，则上式积分可得：，。

2）计算的环向分量。作如图4所示的同轴圆环，则平行于轴向的电流I产生的磁场的环向分量 可由Ampere环路定理求出，由于电流集中在壳层上，螺线管内无电流，所以。

3）分析的轴向分量。如果将壳层上平行于轴向的电流I分割为N个直导线电流，可知每条直导线电流i所产生的磁场强度方向都垂直于z轴。故总磁场强度也不会有z轴分量，即。

1.2 圆柱形壳层上环向电流nI在螺线管内部产生的磁场的计算

可简单求得：。故从以上讨论分析可见，螺线管内部的磁场是壳层上环向电流nI产生的，而壳层表面平行于轴向的电流I在螺线管内不产生磁场，对内部磁场无贡献。与课本结果相同。

2 螺线管外部磁场分析与计算

2.1分析螺线管外部磁场特点对于密绕无限长螺线管管外的磁场的特点，可以先作如下的定性分析。为了方便叙述，作如图5所示的柱坐标（z，r，），其中z轴沿螺线管的轴线，径向坐标为r，横向坐标（方位角）为 。经定性分析，容易得出如下结论：

1）由对称性，管外磁场既不是z的函数，也不是的函数，故管外磁场不可能是均匀磁场，只能是径向坐标r的函数。

2）管外磁场（为了方便，写成）的径向分量=0。为了证明这一结论，作如图5所示的同轴圆柱面。根据磁场Gauss定理，通过上述闭合圆柱面的磁通量为零，即。

由对称性，通过左、右底面的磁通量应互相抵消，故。式中是管外磁场的径向分量，故有。

3）管外磁场的分量应为零，即。为了证明这一结论，作如图5所示的矩形回路abcd，其中ab边、cd边与轴线的距离可任意。由对称性，因无净电流穿过此闭合回路，根据Ampere环路定理，有。

式中和分别是ab边和cd边处磁场的轴向分量。因在bc边和da边的管内部分处的磁场（管内磁场） 与垂直，故对积分无贡献；而在bc边和da边的管外部分处，前已证明，管外磁场的径向分量=0，故对积分也无贡献，于是上式右端第二项和第四项均为零，所以=0。又因ab边和cd边离轴线的距离是任意的，故管外磁场的z分量只能是===0。

2.2 螺线管外部磁场的计算作如图6所示的半径为r同轴圆环。根据讨论，管外部的磁场只有环向分量，可由Ampere环路定理求出，。

3 总结

综上所述，无限长载流螺线管内部磁场是由环向面电流所建立的，磁感应强度的大小，方向沿螺线管轴向；其外部磁场系由轴向面电流所建立，磁感应强度的大小，方向沿环向，并与轴向电流成右手螺旋。

参考文献

[1]梁绍荣.电磁学[M].北京:高等教育出版社,2005:195-256

[2]陈秉乾,舒幼生,胡望雨.电磁学专题研究[M].北京:高等教育出版社,2001:630-644