时域有限差分法仿真等离子体

摘要：时域有限差分(FDTD)算法被广泛地用于模拟电磁场的传播。给出了电磁波在非磁化等离子体中传播稳定条件,并给出了非磁化色散等离子体的FDTD方法，同时对结果进行了分析。

关键词：非磁化等离子体；时域有限差分法；电磁波

中图分类号：O441文献标识码：A文章编号：1009-3044(2008)20-30369-02

Simulation of Plasma with FDTD

HU Lian-sheng

(Tianjin Industry University, Information and Communication Engineering Institute, Tianjin 300160, China)

Abstract: FDTD method is widely used to simulate the spread of electromagnetic fields. The paper Presents conditions of stability in the non-magnetized plasma electromagnetic wave propagation and gives a non-magnetic plasma dispersion of the FDTD method, the results were analyzed.

Key words: non-magnetic plasma; FDTD; electromagnetic waves

1 引言

目前，电磁场的时域计算方法越来越引人注目。时域有限差分(Finite Difference Time Domain,FDTD)法为一种主要的电磁场时域计算方法,是直接求解Maxwell方程的一种时域方法，最早是在1966年由K.S.Yee提出的。这种方法通过将Maxwell旋度方转化为有限差分式而直接在时域求解，通过建立时间离散的递进序列,在相互交织的网格空间中交替计算电和磁场。经过三十多年的发展，这种方法已经广泛应用到各种电磁问题的分析之中。是求解Maxwell微分方程的直接时域算法，在计算中将空间每一个样本点的电场（或磁场）与周围格点的磁场（或电场）直接相联系，且介质参数已赋值给空间每一个元胞，因此这一方法可以处理复杂形状目标和非均匀介质物体的电磁散射，电磁辐射等问题。同时，FDTD的随时间推进可以方便的给出电磁场的演化过程，在计算机上以伪彩色方式显示，这种电磁场可视化结果清楚的显示了物理过程，便于分析和设计。正是由于时域有限差分法的这些优点，它可以运用于飞行器对雷达波散射的计算。其原理简单直观，易于实现，计算程序有很强的通用性，并且特别适合于并行运算。FDTD方法在电磁学的各个领域(如目标特性研究，天线辐射，电磁兼容，微波线路以及生物电磁学等领域)都得了广泛的应用。随着无反射截断问题解决，吸收边界的进一步完善，远近场变换技术，共形技术、亚网格技术等的发展，FDTD方法从最初的数值精度、计算效率不够高，应用范围不广，且本身尚有若干重要问题未得到很好解决，发展到目前非常成熟的时域数值方法。

2 时域有限差分法原理及Yee元胞

2.1 时域有限差分法原理

FDTD算法是K.S.Yee于1966年提出的、直接对麦克斯韦方程作差分处理、来解决电磁脉冲在电磁介质中传播和反射问题的算法。基本思想是：FDTD计算域空间节点采用Yee元胞的方法，同时电场和磁场节点空间与时间上都采用交错抽样；把整个计算域划分成包括散射体的总场区以及只有反射波的散射场区，这两个区域是以连接边界相连接，最外边是采用特殊的吸收边界，同时在这两个边界之间有个输出边界，用于近、远场转换；在连接边界上采用连接边界条件加入入射波，从而使得入射波限制在总场区域；在吸收边界上采用吸收边界条件，尽量消除反射波在吸收边界上的非物理性反射波。 其空间节点采用Yee元胞的方法，电场和磁场节点空间与时间上都采用交错抽样，因而使得麦克斯韦旋度方程离散后构成显式差分方程，相比较与前面的波动方程求解，计算得到大大简化。由于FDTD采用吸收边界条件的方法，使得计算可以在有限的空间范围内进行，这样就可以降低程序对计算机硬件的要求。

时域有限差分法是对与时间相关的麦克斯韦旋度方程直接求解，它采用中心差分取代电磁场分量的空间和时间微分形式而得到。FDTD是一个时间步进过程，输人一个时间抽样的模拟信号，问题空间可以通过两个相互交替的由离散点组成的网格来建模。麦克斯韦方程反映电磁场的基本规律，为突出关键问题，我们把问题尽量简化。假定将问题限定于各向同性的非磁性线性介质，且介质的性质与时间无关。于是在无源区域内，在介质空间中所发生的电磁过程满足以下形式的麦克斯韦旋度方程：

一般地讲，均匀各向同性媒质中μ和ε是标量常数。对于非均匀各向同性媒质，μ和ε是随空间位置而变化的标量。对于各向异性媒质，μ和ε是张量，媒质是均匀还是不均匀将取决于μ和ε是否随位置而变化。从麦克斯韦方程出发建立差分方程的复杂性在于不仅要在时域计算电磁场,即要在包括时间在内的四维空间进行,还要能同时计算电场和磁场的六个分量。在四维空间中合理地离散六个未知场量成为建立具有高精度差分格式的关键问题。

作为一种时域电磁场数值计算方法，FDTD方法具有一些很突出的特点，例如：FDTD方法所需的计算机内存和CPU时间与网格单元数成正比，并且不需要矩阵求逆，这明显优于传统的矩量法。FDTD在计算过程中，由于目标的电磁参数已经反映在每一网格的电磁场计算中，因此,FDTD方法能很容易地处理复杂介质(包括色散介质和各向异性的色散介质)和复杂形状目标的电磁问题。此外，FDTD方法作为一种时域方法，结合电磁场的画面显示，能充分而形象地描绘电磁波的传播过程和电磁场与目标的相互作用过程，给复杂的电磁过程画出一个清晰的物理图象。在脉冲波(如高斯脉冲)的激励下，FDTD方法的一次计算结果，结合傅立叶(Fourier)变换后便可获得丰富的频域信息。同频域方法相比这将节省大量的计算时间。需要指出的是，随着计算机价格的下降，性能的上升，使得FDTD方法更具有吸引力,应用范围也越来越广。近十几年来,每年发表的论文按指数规律增长。特别是近年来,对解决电大尺寸的物体的电磁计算有了长足的发展，还出现了多种方法，其中包括Krumpholz和Katehi¨提出的多分辨率时域方法(MRTD)，Liu提出的时域伪谱方法(PSTD)，Kondylis等人提出的节省内存时域有限差分法(R—FDTD)等。他们都从不同角度较好地解决了电大尺寸目标的电磁仿真问题。随着FDTD方法不断增多，这个电磁领域最常用的技术也越来越成熟起来。

2.2 Yee元胞

时域有限差分法的主要思想是把Maxwell方程在空间、时间上离散化,用差分方程代替一阶偏微分方程,求解差分方程组,从而得出各网格单元的场值。FDTD空间网格单元上电场和磁场各分量的分布如图1所示。电场和磁场被交叉放置,电场分量位于网格单元每条棱的中心,磁场分量位于网格单元每个面的中心,每个磁场(电场)分量都有4个电场(磁场)分量环绕。这样不仅保证了介质分界面上切向场分量的连续性条件得到自然满足,而且还允许旋度方程在空间上进行中心差分运算,同时也满足了法拉第电磁感应定律和安培环路积分定律,也可以很恰当地模拟电磁波的实际传播过程。

在FDTD离散中电场和磁场各节点的三维空间排列如图1所示，每一个磁场分量由电场分量环绕，同样，每一个电场分量由磁场分量环绕。这种电磁场分量的空间取样方式不仅符合法拉第感应定律和安培环路定律的自结构，而且这种电磁场各分量的空间相对位置也适合于麦克斯韦方程的差分运算，够恰当地描述电磁场的传播性质。另外，电场和磁场在时间上交替抽样，抽样时间此相差半个时间步，使麦克斯韦方程旋度方程离散以后构成显式差分方程，从而可在时间上迭代求解，而不需要矩阵求逆运算。

2.3 吸收边界条件

在对FDTD的算法研究中,吸收边界条件(Absorbing Boundary Conditions,ABCs)是一项非常重要的研究内容,通常被用于电磁波问题计算,以较小计算代价来模拟无限空间系统。吸收边界条件的加入,使得开域问题的电磁场散射问题的计算可以在设定的闭域计算空间内完成,这无疑可以大大的节省计算量。吸收边界条件从简单的插值边界,已经发展了多种吸收边界条件。目前广泛采用的有Mur吸收边界、完全匹配层(PML)吸收边界。本文主要介绍二维Berenger完全匹配层(PML)以及各项异性完全匹配层(UPML)。

3 非磁化等离子体FDTD算法的稳定条件

等离子体是物质三种形态（固态、液态、气态）之后的第四种物质形态，其广泛存在于自然界中。当任何不带电的普通气体在受到外界的高能激励作用（如对气体施加高能粒子轰击、激光照射、气体放电、热致电离等方法）后，部分原子中的电子脱离原子核束缚成为自由电子，原子因失去电子而成为带正电的离子，这样原来中性气体就因电离而转变成由大量自由电子，正电离子和部分中性原子组成的宏观仍呈电中性的电离气体，这类气体称为等离子体。其运动主要受电磁力的支配。尽管等离子体在整体上呈电中性，却具有了很好的导电性，普通气体中如有0.1%的气体被电离，这种气体就具有很好的等离子体特性，如果电离气体增加到1%，这样的等离子体便成为导电率很大的理想导电体。

式中kx、ky、kz分别为直角坐标中波矢量k的分量, Δx、Δy、Δz分别是z方向的网格长度，h是时间步长。

4 各向同性非磁化等离子体FDTD算法

假设等离子体为不均匀的、各向同性的、碰撞等离子体，并取等离子体的介质模型。等离子体中的离子因其大的质量而忽略其运动。等离子体中电磁波满足的Maxwell旋度方程组由下式给出

另一种非磁化等离子体的描述方法是采用感应电流密度的辅助方程，在等离子体内，电磁波要引起带电粒子的运动，带电粒子的运动又要产生电磁波。这种电磁波与等离子体的相互作用和相互影响形成了等离子体内电磁波的特色。等离子体作为一种介质，在场的作用下，其中会出现感应电流，它们之间满足麦克斯韦方程组。

5 结论

以上用FDTD对等离子体进行了仿真分析,所编程序简洁明了,运行效率也较高。FDTD法在电磁场数值分析方面有很大的优越性,可以快速地编出高效高质量的程序，可以将算法迅速程序化,并获得很好的数据处理结果,使研究者可以集中精力在FDTD方法和研究对象本身上,而只需花费少量的时间在程序的实现上。

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