导数在不等式证明中的应用

【摘 要】导数概念的产生有着直觉的起源，与曲线的切线和运动质点的速度有密切的关系导数用于描述函数变化率，刻画函数的因变量随自变量变化的快慢程度。在数学教学中，将数学问题系列化，能够有效地提高学生解决数学问题的能力。

【关键词】导数 函数 不等式 中值定理

一、利用导数的定义证明不等式

定义1：设函数在点X0的某一领域内有定义，在点X0处给自变量以增量（点X0+仍在该领域内），相应地，函数有增量

如果当时比值的极限

存在，则称此极限值为函数在点处的导数，记作，，.并称函数在点处可导.

二、利用中值定理证明不等式

定理1：（拉格朗日中值定理）若函数满足条件：（1） 在闭区间上连续；

（2）在开区间内可导， 则在区间内至少存在一点， 使得.定理2：（柯西中值定理）设函数和满足条件：（1）、在闭区间上连续；（2）、在开区间可导，且，则至少存在一点，使.

三、积分第二中值定理

四、用泰勒公式（Taylor公式）证明不等式

定理5：（泰勒定理）若在包含的某个区间上具有阶导数，则对于此区间内任一点，在此区间内至少存在一点，使得

通常 为拉格朗日余项。

从上面的讨论中我们可以得知，导数在证明不等式中的重要性.导数在证明不等式中的应用在历年研究生入学考试及各种《高等数学》竞赛中经常出现。

参考文献：

[1]刘玉莲. 数学分析讲义（第四版）上册[M]. 高等教育出版社.2004.6.

[2]曾捷，数学分析同步辅导及习题全解[M].中国矿业大学出版社，2006.122～159.

[3]裘单明等，研究生入学考试指导，数学分析[M]，济南：山东科学技术出版社，1985.

[4]华东师范大学数学系，数学分析[M]第三版，北京：高等教育出版社，2001.