不定积分第二类换元积分法的表述形式及其适用范围

【摘要】 第二类换元积分法是计算不定积分的重要方法之一，在许多教材中具有不同的表达形式.本文指出一些教材在应用所提供的第二类换元积分法求解一些不定积分时的矛盾之处，并给出其各种表达形式的适用范围.

【关键词】不定积分；不定积分换元积分法

【分类号】O172.2【文献标识码】A

1.引言

不定积分是《高等数学》中一个重要的内容.不定积分的本质是求一个一元未知函数，使其导数恰好是某一已知一元函数.它既是学习导数和微分后知识的延伸，又是学习定积分以及多重积分知识的基础，也是学好《高等数学》的关键.求解不定积分的常用方法有：第一类换元积分法（凑微分法）、第二类换元积分法、分部积分法、待定系数法、欧拉变换法等.一些教材限于篇幅，在用实例解释第二类换元积分法时不严谨，以至于学生不能很好地掌握此方法，甚至还会感到迷惑.本文指出一些教材在应用所提供的第二类换元积分法求解一些不定积分时的矛盾之处，并给出第二类换元积分法各种表达形式的适用范围.

2.第二类换元积分法及其实例

在此例中，因为被积函数a2-x2是连续函数，所以应用定理3表述的公式来解答，就不会出现上面的问题.

3.结束语

鉴于一些教材在应用所陈述的第二类换元积分法求解一些不定积分时出现了一些矛盾，在教学时，本文建议，当被积函数连续时，使用定理3表述的公式来计算不定积分是比较方便的；当出现具有第二类间断点的被积函数时，使用定理1、定理2、定理4表述的公式来求解是比较合适的.

【参考文献】

[1] 吴传生.经济数学·微积分[M].2nd.北京： 高等教育出版社，2009.

[2] 华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].3nd.北京： 高等教育出版社，2001.

[3] 陈传璋等.数学分析（上册）[M].2nd.北京： 高等教育出版社，1983.

[4] 水乃翔，王美琴.关于不定积分的换元积分法[J].数学通报，1995（8）： 42-44.