模糊数学的优选理论在岩土工程中的应用

摘要： 本文同过对模糊数学的概述，论述了将模糊数学优选理论运用在岩土工程当中，将评价和选择方案的主观性转化为数学形式，该方法适合于编制计算机程序，使实际操作更为现实、便利、快捷，因而具有更高的可靠性和发展前景。

关键词：模糊数学；灰色理论；优选模型；岩土工程

1 引言

随着模糊数学（fuzzy mathematics）、灰色理论(grey system)等逐步渗透到各个领域，在土木工程界尤其是结构工程也越来越借助于这些手段，产生了众多的研究分支。本章就是基于模糊数学的观点，建立数学模型（construct a mathematics model）。对包括强夯在内的各种可能的地基处理方案进行量化分析(quantification analysis)，评价选择，看看哪种方法最具有优越性。

模糊数学研究的基本方法：

模糊统计法；二元对比排序法；模糊聚类分析法；模糊综合评判法；模糊物元分析法。其中二元对比排序法又包括：相对比较法；择优比较法；对比平均法；优先关系排序法等。

2多目标系统模糊优选模型的建立

2．1建立原则

在确定评价指标体系过程中应遵循以下原则：

可操作性。指标内涵应简洁明了，便于量化。

客观性。指标体系应能较客观地反映真实情况，尽量排除主观因素的影响。

独立性。指标应尽可能不相互包含。

全面性。指标体系应尽可能科学地、全面地反映实际状态和水平。

2．2确定各指标的权重

评价体系应从安全可行性、综合造价、环境保护、施工条件等几个方面出发，设置层次模型。评价体系应包含两个因素：一是评价指标的确定；二是各指标在评价体系的权重。各级指标的权重是整个评价体系的关键所在，它直接影响到整个评价质量的真实性。

2．3多目标系统模糊优选模型的建立

目标（指标）相对优属度

隶属度和隶属函数是模糊集合论或模糊数学赖以建立的基石。经典的数学定义为：

定义1：设在该连续统的数轴上建立参考系，使其中的任意2个点定为参考系坐标上的两极，赋给参考系的两极以0与1的数，并构成参考系数轴上的参考连续统。对任意在参考连续统上指定的一个数uA(u)称为u对A的相对隶属度，映像为：

uA：U→[0，1]

u→uA(u)（1）

称为A的相对隶属函数。

定义2：设在优选与决策过程中，取决策集D中的目标i最大特征值∨jxij与最小特征值∧jxij作为上、下界的相对值，由此构成参考连续统的两极。据此计算的目标相对优的隶属度，根据定义1为目标相对优属度。

由定义2，对越大越优的目标，其相对优属度公式为：

（2）

对越小越优的目标，其相对优属度公式为：

（3）

式中：rij为决策j目标I的相对优属度；∨和∧分别为取大、取小符；∨jxij，∧jxij分别表示决策j（为1，2…,n）对目标i的特征值取大、取小。

多目标系统模糊优选模型的建立。优与劣是一对既有差别又有共维的概念且处于两极，具有中介过渡性，是客观存在着的模糊概念，这是优选的模糊性，是事物在优与劣识别过程中所呈现的一种客观属性。

设系统有q个决策（方案）组成的论域U，其中有n个决策满足约束集形成决策集：

D={d1，d2，…，dn}

优选是在决策集D中进行，即在D中的n个决策之间作优劣比较，与D外的决策无关，这是优选的相对性。

设系统有m个目标（或指标）组成决策集D的评价目标集：

P={p1，p2…，pm }

m个目标对n个决策的评价可用目标特征值矩阵表示：

其中：i=1，2，…，n这样的系统称为单位系统。

用目标对于优的相对隶属度公式（2）和（3）将目标特征值矩阵变换为目标相对优属度矩阵：

根据定义1，由参考连续统中过渡的两极具有最大相对优属度（优等决策的相对优属度）为：

gi=1或g=(g1，g2，…，gm)T=(1，1，…，1)T（6）

最小相对优属度（劣等决策的相对优属度）为：

bi=0或b=(b1，b2，…，bm)T=(0，0，…，0)T（7）

设决策j对优的相对隶属度以uj表示，对劣的相对隶属度以ujc表示，根据模糊集合的余集定义有ujc=1-uj

设系统中m个目标的权重不同，用权向量表示为：

w=(w1，w2，错误！链接无效。，wm)T，（8）

决策j可用向量表示为：

rj=(r1j，r2j，…rmj)T（9）

在模糊集合论中隶属度可定义为权重。决策j以相对隶属度uj隶属于模糊概念-优，它的距优距离为djg，为了完善地表达决策j与优等决策的距离，距优距离djg以uj作为权重。则有：

（10）

Djg称为加权距优距离。类似地，加权距劣距离为：

（11）

其中：p为距离参数，p=1时为海明距离，p=2时为欧氏距离。

为了求解决策j相对隶属度uj的最优值，建立如下的优化准则：决策j的加权距优距离与加权距劣距离平方总和为最小，即目标函数为：

（12）

求目标函数（12）的导数，且令导数为0，取gi=1，bi=0，可得决策相对优属度模型为：

上式称为单元系统模糊优选理论模型。

3地基处理方案模糊优化分析

某段路基为淤泥及淤泥质软土地基，处理面积较大。地质报告显示该段地层主要为海相沉积的淤泥及淤泥质亚粘土，呈青灰色，饱和流塑状态，天然含水量较高，空隙比大于1.1，压缩系数大，强度低。下层为不同风化程度的片岩，强度较好。因此该地基必须进行处理才能进行路面工程的施工，经考察有砂井堆载预压、CFG桩复合地基、碎石桩挤密法、真空预压法、动力强夯置换法等适合采用。专家经过现场考察、分析并结合试验数据分别从技术可行性、工期、造价、材料损耗、施工复杂性、环境影响等六个指标进行评价。

各指标的取值依据如下所述：

①技术可行性相对评价值，是根据以往各种地基加固方案的成败机率来定的，成功率越大的取值越高。②工期相对评价值，就是直接按以往相似工程量的工程中各处理方案的工期长短来定相对评价指标值，工期越长，值越小。③造价相对评价值，是假定采用的地基加固方案，进行造价预算，然后按比例得到各造价相对评价指标，造价越高的指标值越小。可以按公式(4.3)得到各个方案的造价相对评价值④材料消耗相对评价值，主要是看各方案在处理相同地基时消耗的材料如水泥、碎石、砂子、石灰等的价值大小。消耗材料价值越大的指标值越小。⑤施工复杂性相对评价值，主要根据在地基处理过程中施工的步骤多少与繁琐与否，再依据工程经验来确定评价值，越复杂的方案评价值越小。⑥环境影响相对评价值，主要是根据各个方案在实施时或者实施后对周边环境或者地下水等的影响来确定指标值，影响越小的取值越大。比如本例子中，CFG桩法因为会对地下水等造成不良影响，强夯法因为存在较大的噪音污染，所以相对评价值取值就都较小一些。

4结论

模糊数学优选理论将评价和选择地基处理方案的主观性转化为数学形式，考虑了各评价因素的重要程度，因而具有更高的可靠性。该方法适合于编制计算机程序，使实际操作更为现实、便利、快捷。模糊数学在地基处理模糊优化设计、方案优选、模糊随机可靠度分析、模糊信息处理和安全预报等领域都具有广阔的应用前景。

参考文献

[1]沈小峰,汪培庄. 模糊数学中的哲学问题初探[J]哲学研究, 1981,(05) .

[2]赵维炳. 模糊数学常用方法及在岩土工程中的应用[J]中国港湾建设, 1991,(01) .

[3]刘加龙,吕希奎,刘贵应. 模糊综合评判法在泥石流灾度评价中的应用[J]地质科技情报, 2001,(04) .